問題4.2.2
次のベクトル $\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \cdots, \boldsymbol{v}_{n}$ を行列を用いて $\tau \boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{m}$ の1次結合で表せ。
（１）$v_{1}=2 u_{1}+u_{2}-3 u_{3}$, $v_{2}=u_{1}-u_{2}+u_{3}$, $v_{3}=u_{1}+2 u_{2}+4 u_{3}$
（２）$v_{1}=2 u_{1}+u_{2}-u_{3}-u_{4}$, $v_{2}=u_{1}-u_{2}+2 u_{3}+u_{4}$, $v_{3}=u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}$, $v_{4}=2 u_{1}+u_{2}-2 u_{3}-3 u_{4}$
（３）$v_{1}=u_{1}+u_{2}-u_{3}-2 u_{5}$, $v_{2}=2 u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+u_{5}$, $v_{3}=2 u_{1}-u_{3}+u_{4}-3 u_{5}$, $v_{4}=u_{1}+u_{2}-3 u_{4}-2 u_{5}$
ポイント
$V$ のベクトル $\boldsymbol{v}$ が $V$ のベクトル $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ を用いて$$\boldsymbol{v}=c_{1} \boldsymbol{u}_{1}+c_{2} \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+c_{n} \boldsymbol{u}_{n} \quad\left(c_{i} \in \boldsymbol{R}\right)$$と書けるとき、「ベクトル $\boldsymbol{v}$ は $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ の1次結合で書ける」と言います。
解答例
（１）
$\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right)=$ $\left(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{u}_{3}\right)\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 2 \\
-3 & 1 & 4
\end{array}\right]$
（２）
$\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{v}_{4}\right)=$ $\left(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{u}_{3}, \boldsymbol{u}_{4}\right)\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & -1 & -3\end{array}\right]$
（３）
$\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{v}_{4}, \boldsymbol{v}_{5}\right)=$ $\left(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{u}_{3}, \boldsymbol{u}_{4}, \boldsymbol{u}_{5}\right)\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & -3 & -2\end{array}\right]$