線形代数4.2.2

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 問題4.2.2

次のベクトル ${\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2,\cdots ,{\mathit{v}}_n$ を行列を用いて $\tau {\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,\cdots ,{\mathit{u}}_m$ の1次結合で表せ。

（１）$v_1=2u_1+u_2-3u_3$, $v_2=u_1-u_2+u_3$, $v_3=u_1+2u_2+4u_3$

（２）$v_1=2u_1+u_2-u_3-u_4$, $v_2=u_1-u_2+2u_3+u_4$, $v_3=u_1-u_2+u_3-u_4$, $v_4=2u_1+u_2-2u_3-3u_4$

（３）$v_1=u_1+u_2-u_3-2u_5$, $v_2=2u_1-u_2+u_3-u_4+u_5$, $v_3=2u_1-u_3+u_4-3u_5$, $v_4=u_1+u_2-3u_4-2u_5$

 

 ポイント

$V$ のベクトル $\mathit{v}$ が $V$ のベクトル ${\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,\cdots ,{\mathit{u}}_n$ を用いて$$\mathit{v}=c_1{\mathit{u}}_1+c_2{\mathit{u}}_2+\cdots +c_n{\mathit{u}}_n(c_i\in \mathit{R})$$と書けるとき、「ベクトル $\mathit{v}$ は ${\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,\cdots ,{\mathit{u}}_n$ の1次結合で書ける」と言います。

 

 解答例

（１）

$({\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2,{\mathit{v}}_3)=$ $({\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,{\mathit{u}}_3)\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& -1& 2\\ -3& 1& 4\end{array}\right]$

（２）

$({\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2,{\mathit{v}}_3,{\mathit{v}}_4)=$ $({\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,{\mathit{u}}_3,{\mathit{u}}_4)\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 2\\ 1& -1& -1& 1\\ -1& 2& 1& -2\\ -1& 1& -1& -3\end{array}\right]$

（３）

$({\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2,{\mathit{v}}_3,{\mathit{v}}_4,{\mathit{v}}_5)=$ $({\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,{\mathit{u}}_3,{\mathit{u}}_4,{\mathit{u}}_5)\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 1\\ 1& -1& 0& 1\\ -1& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& -3\\ -2& 1& -3& -2\end{array}\right]$

 

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