問題4.2.3
問2において $\tau \boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{m}$ が1次独立のとき、$\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \cdots, \boldsymbol{v}_{n}$ は1次独立か1次従属か調べよ。
（１）$v_{1}=2 u_{1}+u_{2}-3 u_{3}$, $v_{2}=u_{1}-u_{2}+u_{3}$, $v_{3}=u_{1}+2 u_{2}+4 u_{3}$
（２）$v_{1}=2 u_{1}+u_{2}-u_{3}-u_{4}$, $v_{2}=u_{1}-u_{2}+2 u_{3}+u_{4}$, $v_{3}=u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}$, $v_{4}=2 u_{1}+u_{2}-2 u_{3}-3 u_{4}$
（３）$v_{1}=u_{1}+u_{2}-u_{3}-2 u_{5}$, $v_{2}=2 u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+u_{5}$, $v_{3}=2 u_{1}-u_{3}+u_{4}-3 u_{5}$, $v_{4}=u_{1}+u_{2}-3 u_{4}-2 u_{5}$
ポイント
ベクトル $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が自明でない1次関係を持たない、すなわち$$(*) \quad c_{1} \boldsymbol{u}_{1}+c_{2} \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+c_{n} \boldsymbol{u}_{n}=0 \quad\left(c_{i} \in \boldsymbol{R}\right)$$を満たす $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ が $c_{1}=0, c_{2}=0, \cdots, c_{n}=0$ に限るときに $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次独立であると言います。$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が1次独立でないとき、$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次従属であると言います。
解答例
（１）
$\boldsymbol{v}_{1}$、$\boldsymbol{v}_{2}$、$\boldsymbol{v}_{3}$ の1次関係は$$
\begin{aligned}
\mathbf{0} &=c_{1} \boldsymbol{v}_{1}+c_{2} \boldsymbol{v}_{2}+c_{3} \boldsymbol{v}_{3} \\
&=\left(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{u}_{3}\right)\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 2 \\
-3 & 1 & 4
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3}
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$となる。いま、$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{3}$ は１次独立だから$$\left[\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 2 \\
-3 & 1 & 4
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]$$これを解いて$$c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$$となるから１次独立である。
（２）
$\boldsymbol{v}_{1}$、$\boldsymbol{v}_{2}$、$\boldsymbol{v}_{3}$、$\boldsymbol{v}_{4}$ の1次関係は$$\begin{aligned}
\mathbf{0} &=c_{1} \boldsymbol{v}_{1}+c_{2} \boldsymbol{v}_{2}+c_{3} \boldsymbol{v}_{3}+c_{4} \boldsymbol{v}_{4} \\
&=\left(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{u}_{3}, \boldsymbol{u}_{4}\right)\left[\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 1 & 2 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & -2 \\
-1 & 1 & -1 & -3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3} \\
c_{4}
\end{array}\right]
\end{aligned}$$となる。いま、$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{3}$、$\boldsymbol{u}_{4}$ は１次独立だから$$\left[\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 1 & 2 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & -2 \\
-1 & 1 & -1 & -3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3} \\
c_{4}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]$$となる。これを解くと、自明でない解$$\begin{cases}
x_{1}=-x_{4} \\
x_{2}=x_{4} \\
x_{3}=-x_{4} \\
x_{4}=x_{4}
\end{cases}$$が存在するから１次従属である。
（３）
$\boldsymbol{v}_{1}$、$\boldsymbol{v}_{2}$、$\boldsymbol{v}_{3}$、$\boldsymbol{v}_{4}$ の1次関係は$$\begin{aligned}
\mathbf{0} &=c_{1} \boldsymbol{v}_{1}+c_{2} \boldsymbol{v}_{2}+c_{3} \boldsymbol{v}_{3}+c_{4} \boldsymbol{v}_{4} \\
&=\left(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{u}_{3}, \boldsymbol{u}_{4}, \boldsymbol{u}_{5}\right)\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 1 & -3 \\
-2 & 1 & -3 & -2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3} \\
c_{4}
\end{array}\right]
\end{aligned}$$となる。いま、$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\boldsymbol{u}_{3}$、$\boldsymbol{u}_{4}$、$\boldsymbol{u}_{5}$ は１次従属だから$$\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 1 & -3 \\
-2 & 1 & -3 & -2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
c_{3} \\
c_{4}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]$$となる。これを解いて$$c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=0$$が存在するから１次独立である。