問題4.2.5
$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$が１次独立ならば、$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$ $(1 \leqq r \leqq m-1)$ も１次独立であることを示せ。
ポイント
ベクトル $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が自明でない1次関係を持たない、すなわち$$(*) \quad c_{1} \boldsymbol{u}_{1}+c_{2} \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+c_{n} \boldsymbol{u}_{n}=0 \quad\left(c_{i} \in \boldsymbol{R}\right)$$を満たす $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ が $c_{1}=0, c_{2}=0, \cdots, c_{n}=0$ に限るときに $\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次独立であると言います。$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ が1次独立でないとき、$\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \cdots, \boldsymbol{u}_{n}$ は1次従属であると言います。
ベクトルの組が1次独立であることと1次従属であることは互いに排反です。ここでは対偶証明法で示します。
解答例
「$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$が１次独立である」を命題$p$、「$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$ $(1 \leqq r \leqq m-1)$ が１次独立である」を命題$q$とする。
$p \Rightarrow q$ を証明するために、その対偶である $\bar{q} \Rightarrow \bar{p}$ が真であることを示す。ここで、命題$\bar{p}$および$\bar{q}$はそれぞれ、「$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$が１次独立でない（＝１次従属である）」、「$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$ $(1 \leqq r \leqq m-1)$ が１次独立でない（＝１次従属である）」を表していることに注意する。
さて、$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$が１次従属ならば、その中の１つ、例えば$\boldsymbol{u}_{1}$は適当な係数$c_k$（$k=2,3,\cdots,r$）を選ぶことで、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{r}$の１次結合で$$\boldsymbol{u}_{1}=c_{2} \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+c_{r} \boldsymbol{u}_{r}$$と書ける。これより、例えば$$\boldsymbol{u}_{1}=c_{2} \boldsymbol{u}_{2}+\cdots+c_{r} \boldsymbol{u}_{r}+0 \boldsymbol{u}_{r+1}+\cdots+0 \boldsymbol{u}_{m}$$と$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$の１次結合で書き直せるので$\boldsymbol{u}_{1}$、$\boldsymbol{u}_{2}$、$\cdots$、$\boldsymbol{u}_{m}$は１次従属となる。
よって対偶 $\bar{q} \Rightarrow \bar{p}$ が真であるから、元の命題 $p \Rightarrow q$ が真であることが示された。
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