問題4.3.1a
次の各組のベクトルに対して問いに答えよ。
(ⅰ)１次独立な最大個数 $r$ を求めよ。
(ⅱ) $r$ 個の１次独立なベクトルを前のほうから順に求めよ。
(ⅲ) 他のベクトルを(ⅰ)のベクトルの１次結合で書き表せ。
（１）$\small \boldsymbol{a}_{1}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4 \\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{a}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{a}_{3}=\left[\begin{array}{r}5 \\ 3 \\ 10 \\ 8\end{array}\right], \boldsymbol{a}_{4}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], \boldsymbol{a}_{5}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$
（２）$\small \boldsymbol{a}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{a}_{2}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{a}_{3}=\left[\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1 \\ 2\end{array}\right], \boldsymbol{a}_{4}=\left[\begin{array}{r}2 \\ -1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right], \boldsymbol{a}_{5}=\left[\begin{array}{r}3 \\ 2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right]$
ポイント
１次独立な最大個数 $r$ は行列のランクに相当するので、それぞれの組のベクトルを行列にして簡約化します。
解答例
（１）
$A=\left[\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4}, \boldsymbol{a}_{5}\right]$ と置いて簡約化すると、$$\begin{array}{ccccc:ll}
\hline 2 & 1 & 5 & 1 & 1 & & \\
1 & 0 & 3 & 1 & 0 & & \\
4 & 2 & 10 & 1 & 1 & & \\
3 & 1 & 8 & 2 & 1 & & \\
\hline 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & ①+② \times(-2) \\
1 & 0 & 3 & 1 & 0 & & \\
0 & 2 & -2 & -3 & 1 & ③+② \times(-4) \\
0 & 1 & -1 & -1 & 1 & ④+② \times(-3) \\
\hline 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & -1 & ③+① \times(-2) \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ④+① \times(-1) \\
\hline 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & ①+③ \times(-1) \\
1 & 0 & 3 & 0 & -1 & ②+③ \\
0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 3 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & ③ \times(-1) \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline \end{array}$$となる。
以上より、
(ⅰ) $r=\operatorname{rank}(A)=3$
(ⅱ) $\boldsymbol{a}_{1}, \, \boldsymbol{a}_{2}, \, \boldsymbol{a}_{4}$
(ⅲ) $\boldsymbol{a}_{3}=3 \boldsymbol{a}_{1}-\boldsymbol{a}_{2}$、$\boldsymbol{a}_{5}=-\boldsymbol{a}_{1}+2 \boldsymbol{a}_{2}+\boldsymbol{a}_{4}$
となる。
（２）
$A=\left[\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4}, \boldsymbol{a}_{5}\right]$ と置いて簡約化すると、$$\begin{array}{ccccc:ll}
\hline 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\
1 & 0 & -1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 2 & 4 & -1 \\
\hline 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & -2 & -2 & 0 & 0 & ③+① \times(-1) \\
0 & -1 & 1 & 2 & -4 & ④+① \times(-2) \\
\hline 1 & 0 & 1 & 4 & -1 & ①+② \times(-2) \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & -2 & -2 & 4 & ③+② \times 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -2 & ④+② \\
\hline 1 & 0 & 0 & 3 & 1 & ①+④ \times(-1) \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ③+④ \times 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -2 \\
\hline 1 & 0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline \end{array}$$となる。
以上より、
(ⅰ) $r=\operatorname{rank}(A)=3$
(ⅱ) $\boldsymbol{a}_{1}, \, \boldsymbol{a}_{2}, \, \boldsymbol{a}_{3}$
(ⅲ) $\boldsymbol{a}_{4}=3 \boldsymbol{a}_{1}-\boldsymbol{a}_{2}+\boldsymbol{a}_{3}$、$\boldsymbol{a}_{5}=\boldsymbol{a}_{1}+2 \boldsymbol{a}_{2}-2\boldsymbol{a}_{3}$
となる。