線形代数4.3.1a

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 問題4.3.1a

次の各組のベクトルに対して問いに答えよ。

(ⅰ)１次独立な最大個数 $r$ を求めよ。
(ⅱ) $r$ 個の１次独立なベクトルを前のほうから順に求めよ。
(ⅲ) 他のベクトルを(ⅰ)のベクトルの１次結合で書き表せ。

（１）${\mathit{a}}_1=\left[\begin{array}{l}2\\ 1\\ 4\\ 3\end{array}\right],{\mathit{a}}_2=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 2\\ 1\end{array}\right],{\mathit{a}}_3=\left[\begin{array}{r}5\\ 3\\ 10\\ 8\end{array}\right],{\mathit{a}}_4=\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\\ 2\end{array}\right],{\mathit{a}}_5=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

（２）${\mathit{a}}_1=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathit{a}}_2=\left[\begin{array}{l}2\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right],{\mathit{a}}_3=\left[\begin{array}{r}1\\ 0\\ -1\\ 2\end{array}\right],{\mathit{a}}_4=\left[\begin{array}{r}2\\ -1\\ 2\\ 4\end{array}\right],{\mathit{a}}_5=\left[\begin{array}{r}3\\ 2\\ 3\\ -1\end{array}\right]$

 

 ポイント

１次独立な最大個数 $r$ は行列のランクに相当するので、それぞれの組のベクトルを行列にして簡約化します。

 

 解答例

（１）

$A=[{\mathit{a}}_1,{\mathit{a}}_2,{\mathit{a}}_3,{\mathit{a}}_4,{\mathit{a}}_5]$ と置いて簡約化すると、$$\overline{)\begin{array}{cccccll}2& 1& 5& 1& 1& & \\ 1& 0& 3& 1& 0& & \\ 4& 2& 10& 1& 1& & \\ 3& 1& 8& 2& 1& & \\ 0& 1& -1& -1& 1& \mathrm{①}+\mathrm{②}\times (-2)\\ 1& 0& 3& 1& 0& & \\ 0& 2& -2& -3& 1& \mathrm{③}+\mathrm{②}\times (-4)\\ 0& 1& -1& -1& 1& \mathrm{④}+\mathrm{②}\times (-3)\\ 0& 1& -1& -1& 1\\ 1& 0& 3& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1& -1& \mathrm{③}+\mathrm{①}\times (-2)\\ 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{④}+\mathrm{①}\times (-1)\\ 0& 1& -1& 0& 2& \mathrm{①}+\mathrm{③}\times (-1)\\ 1& 0& 3& 0& -1& \mathrm{②}+\mathrm{③}\\ 0& 0& 0& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0& 2\\ 0& 0& 0& 1& 1& \mathrm{③}\times (-1)\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}}$$となる。

以上より、

(ⅰ)　$r=\mathrm{rank}(A)=3$
(ⅱ)　${\mathit{a}}_1,{\mathit{a}}_2,{\mathit{a}}_4$
(ⅲ)　${\mathit{a}}_3=3{\mathit{a}}_1-{\mathit{a}}_2$、${\mathit{a}}_5=-{\mathit{a}}_1+2{\mathit{a}}_2+{\mathit{a}}_4$

となる。

（２）

$A=[{\mathit{a}}_1,{\mathit{a}}_2,{\mathit{a}}_3,{\mathit{a}}_4,{\mathit{a}}_5]$ と置いて簡約化すると、$$\overline{)\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& 2& 3\\ 0& 1& 0& -1& 2\\ 1& 0& -1& 2& 3\\ 1& 1& 2& 4& -1\\ 1& 2& 1& 2& 3\\ 0& 1& 0& -1& 2\\ 0& -2& -2& 0& 0& \mathrm{③}+\mathrm{①}\times (-1)\\ 0& -1& 1& 2& -4& \mathrm{④}+\mathrm{①}\times (-2)\\ 1& 0& 1& 4& -1& \mathrm{①}+\mathrm{②}\times (-2)\\ 0& 1& 0& -1& 2\\ 0& 0& -2& -2& 4& \mathrm{③}+\mathrm{②}\times 2\\ 0& 0& 1& 1& -2& \mathrm{④}+\mathrm{②}\\ 1& 0& 0& 3& 1& \mathrm{①}+\mathrm{④}\times (-1)\\ 0& 1& 0& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{③}+\mathrm{④}\times 2\\ 0& 0& 1& 1& -2\\ 1& 0& 0& 3& 1\\ 0& 1& 0& -1& 2\\ 0& 0& 1& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}}$$となる。

以上より、

(ⅰ)　$r=\mathrm{rank}(A)=3$
(ⅱ)　${\mathit{a}}_1,{\mathit{a}}_2,{\mathit{a}}_3$
(ⅲ)　${\mathit{a}}_4=3{\mathit{a}}_1-{\mathit{a}}_2+{\mathit{a}}_3$、${\mathit{a}}_5={\mathit{a}}_1+2{\mathit{a}}_2-2{\mathit{a}}_3$

となる。

 

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