問題4.3.1b
次の各組のベクトルに対して問いに答えよ。
(ⅰ)１次独立な最大個数 $r$ を求めよ。
(ⅱ) $r$ 個の１次独立なベクトルを前のほうから順に求めよ。
(ⅲ) 他のベクトルを(ⅰ)のベクトルの１次結合で書き表せ。
（３）$f_{1}=1+2 x$
$f_{2}=2+3 x-x^{3}$
$f_{3}=1-x+2 x^{2}$
$f_{4}=1+x-x^{3}$
$f_{5}=3 x-2 x^{2}$
（４）$f_{1}=1+x-x^{2}+2 x^{3}+x^{4}$
$f_{2}=1+x^{2}+x^{3}$
$f_{3}=3+5 x-7 x^{2}+8 x^{3}+5 x^{4}$
$f_{4}=1-2 x+5 x^{2}-x^{3}-2 x^{4}$
$f_{5}=x+2 x^{2}+x^{3}+x^{4}$
ポイント
１次独立な最大個数 $r$ は行列のランクに相当するので、それぞれの組のベクトルを行列にして簡約化します。簡約化した行列から(ⅱ)が分かり、この行列を掛けてやれば(ⅲ)が分かります。
解答例
（３）
与えられた条件は$$\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}\right)=\left(1, x, x^{2}, x^{3}\right)\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 3 & -1 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 0 & -2 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 0
\end{array}\right]$$と書き直せる。右辺の行列を $A$ と置いて簡約化すると、$$\begin{array}{rrrrr:l}
\hline 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 3 & -1 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 0 & -2 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
\hline 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & -3 & -1 & 3 & ②+① \times(-2) \\
0 & 0 & 2 & 0 & -2 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & ①+④ \times 2 \\
0 & 0 & -3 & 0 & 3 & ②+④ \times(-1) \\
0 & 0 & 2 & 0 & -2 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 & ②+① \times(-1/3) \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 & ③ \times 1/2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & ④ \times(-1) \\
\hline 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & ①+② \times(-1) \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ③+② \times(-1) \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline \end{array}$$となる。
以上より、
(ⅰ) $r=\operatorname{rank}(A)=3$
(ⅱ) $\boldsymbol{f}_{1}, \, \boldsymbol{f}_{2}, \, \boldsymbol{f}_{3}$
(ⅲ) $\boldsymbol{f}_{4}=-\boldsymbol{f}_{1}+\boldsymbol{f}_{2}$、$\boldsymbol{f}_{5}=-\boldsymbol{f}_{1}- \boldsymbol{f}_{3}$
となる。
（４）
与えられた条件は$$\small \left(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}\right)=\left(1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}\right)\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 5 & -2 & 1 \\
-1 & 1 & -7 & 5 & 2 \\
2 & 1 & 8 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 5 & -2 & 1
\end{array}\right]$$と書き直せる。右辺の行列を $A$ と置いて簡約化すると、$$\begin{array}{rrrrr:l}
\hline 1 & 1 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 5 & -2 & 1 \\
-1 & 1 & -7 & 5 & 2 \\
2 & 1 & 8 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 5 & -2 & 1 \\
\hline 0 & 1 & -2 & 3 & -1 & ①+② \times(-1) \\
1 & 0 & 5 & -2 & 1 \\
0 & 1 & -2 & 3 & 3 & ③+② \\
0 & 1 & -2 & 3 & -1 & ④+② \times(-2) \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⑤+② \times(-1) \\
\hline 0 & 1 & -2 & 3 & -1 \\
1 & 0 & 5 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & ③+① \times(-1) \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ④+① \times(-1) \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 1 & -2 & 3 & -1 \\
1 & 0 & 5 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & ③ \times 1/4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 1 & -2 & 3 & 0 & ①+③ \times(-1) \\
1 & 0 & 5 & -2 & 0 & ②+③ \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 1 & 0 & 5 & -2 & 0 \\
0 & 1 & -2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline \end{array}$$となる。
以上より、
(ⅰ) $r=\operatorname{rank}(A)=3$
(ⅱ) $\boldsymbol{f}_{1}, \, \boldsymbol{f}_{2}, \, \boldsymbol{f}_{5}$
(ⅲ) $\boldsymbol{f}_{3}=5\boldsymbol{f}_{1}-2\boldsymbol{f}_{2}$、$\boldsymbol{f}_{4}=-2\boldsymbol{f}_{1}+3\boldsymbol{f}_{2}$
となる。