問題4.3.4
次の行列の階数 $r$ を求めよ。また $r$ 次の正則な小行列を１つ求めよ。$$\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\
-1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
-2 & -1 & -5 & -3 & -1 \\
1 & -1 & 1 & 0 & 2
\end{array}\right]$$
解法の要点
前問を踏まえて解答します。まずは与えられた行列を簡約化します。
解答例
与えられた行列を簡約化すると、$$\begin{array}{ccccc:l}
\hline 1 & 2 & 4 & 3 & 1 \\
-1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
-2 & -1 & -5 & -3 & -1 \\
1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\
\hline 0 & 3 & 3 & 3 & 1 & ①+② \\
-1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & -3 & -3 & -3 & -1 & ③+② \times(-2) \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
\hline 0 & 3 & 3 & 3 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 0 & 0 & ② \times(-1) \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ③+① \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & ④\times 1/2 \\
\hline 0 & 3 & 3 & 3 & 0 & ①+④ \times(-1) \\
1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & ①\times 1/3 \\
1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 2 & 1 & 0 & ②+① \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\hline1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline \end{array}$$となる。
よって $r=\text{rank}(A)=3$ である。
定理4.3.4より、$A$が正則行列であることは$A$の$n$個の列ベクトルは１次独立であることと同値であるから、１次独立である１列、２列、５列を残せばよい。また、３次の正則な小行列を得るには任意の行を１行取り除けばよい。