積分計算で困ったときの対処法①

「取り敢えず微分する」

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《例題》

次の不定積分を求めよ。$$\int \frac{\log ({\sin }^{2}x)}{\tan x}dx$$

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ともすると泥沼にはまりそうな問題だが、方針に困ったときは積分ではなく、敢えて「微分」してみると突破口が見えてくることがある。

コツとしては、関数の一部分を微分する、という点。

試しに $\log ({\sin }^{2}x)$ を微分すると$$\frac{d}{dx}\log ({\sin }^{2}x)=\frac{2\sin x\cos x}{{\sin }^{2}x}=\frac{2}{\tan x}$$となり、被積分関数の分母にも$\tan x$があるので、実はちょうど合成関数の微分形になっていたことが分かる。これより、$$\begin{array}{rl}& \int \frac{\log ({\sin }^{2}x)}{\tan x}dx\\ & =\frac{1}{2}\int {\{\log ({\sin }^{2}x)\}}^{\prime }\cdot \log ({\sin }^{2}x)dx\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{1}{2}{\left\{{(\log ({\sin }^{2}x))}^2\right\}}^{\prime }dx\\ & =\frac{1}{4}{\{\log ({\sin }^{2}x)\}}^2+C\\ & =(\log |\sin x|{)}^2+C\end{array}$$となる。関数に$\log$が含まれているときはこの方法で上手くいくことが時々ある。

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