級数のギャラリー
無限級数の一覧を掲載しています。適宜追加していきます。
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}=\dfrac{1}{24}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}=1$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}=7-\dfrac{2\pi^2}{3}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)^{2}}=2-\dfrac{\pi^2}{6}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n(n+1)^{2}}=\dfrac{\pi^2}{6}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n^{2}(n+1)^{2}}=\dfrac{\pi^2-8}{2}$$
（※）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}$ というタイプの無限級数は $p>1$ のとき定数に収束するので、分母の次数に着目すると
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}=\infty$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}=\infty$$となります。$\ln n$ の級数展開を考えると（定数項が存在するので $n \ln n$ の次数は1次）$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n \ln n}=\infty$$となることも感覚的に理解しやすいと思います。
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots=1$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)=\dfrac{3}{2}$$
$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{}_{n+2}\mathrm{C}_{n}}{2^n (n+1)^{2}}=\ln 2$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{{}_{n+3}\mathrm{C}_{n}}=\dfrac{1}{2}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{{}_{n+4}\mathrm{C}_{n}}=\dfrac{1}{3}$$
（※注）$k \geqq 2$ のとき、一般に $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{{}_{n+k}\mathrm{C}_{n}}=\dfrac{1}{k-1}$ が成立します。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{2^n}=3$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots=\ln 2$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{5^{3 n}\cdot{}_{4n}\mathrm{C}_{n}}{6^{4 n}}=3$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{{}_{n+2}\mathrm{C}_{3}}{3^n}=\dfrac{27}{16}$$
$$1-\sum_{n=1}^\infty\frac2{25n^2-1}=\dfrac\pi5\cot\left(\dfrac\pi5\right)=\dfrac\pi5\sqrt{1+\dfrac2{\sqrt 5}}$$
$$\sum_{n=0}^\infty {}_{3n}\mathrm{C}_{n}\dfrac{9n^2-3n-1}{(3n-1)(3n-2)}\left(\dfrac{2}{27}\right)^n = \dfrac{1}{4}$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n+3}=\lim_{x\to 1-0}\int_{0}^{x}\frac{t^2}{1+t^4} dt=\frac{\pi+2\ln(\sqrt{2}-1)}{4\sqrt{2}}$$