雑題ログ：オールジャンル一行問題

オールジャンル一行問題

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東京帝国大学(1935年/(農)第3問)

$x^{x^x}$を微分せよ。

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国際数学オリンピック　ルーマニア大会(1959年/第1問)

Prove that the fraction ${\displaystyle \frac{21n+4}{14n+3}}$ is irreducible for every natural number $n$.

和訳：すべての自然数$n$に対して${\displaystyle \frac{21n+4}{14n+3}}$が既約分数であることを示せ。

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名古屋大学(1965年/理系第2問)

$1$辺の長さが$a$の正三角形の面積を$2$等分する線分のうちで最も短いものの長さを求めよ。

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名古屋大学(1966年/理系第4問)

和が$1$である無限等比級数の第$n$項がとりうる値の範囲を求めよ。

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名古屋市立大学(1967年/前期第1問(1))

正弦定理を述べて、これを証明せよ。

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東北大学(1968年/前期(教育)第5問)（問題文の表現を一部変更）

$y=1-|x|$に接し、$y$軸を軸とする上に凸な放物線で、$x$軸と囲む面積が最大になるものを求めよ。

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一橋大学(1968年/２次選抜試験/第2問)

だ円$x^2+4y^2-4x+8y+4=0$が、傾き$1$の直線から切り取る線分の長さの最大値を求めよ。

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一橋大学(1968年/２次選抜試験/第4問)

${\log }_{10}2$は有理数でないことを証明せよ。

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東京工業大学(1968年/前期第5問)

次の極限値を求めよ。　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n}}\sqrt[n]{{}_{2n}{\mathrm{P}}_n}}$

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名古屋市立大学(1968年/(医/薬)第1問)

等式 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1}$ を証明せよ。

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一橋大学(1970年/２次選抜試験/第1問)

$\sin x+\cos x=0.8$ のとき、$\sin 3x-\cos 3x$の値を求めよ。

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大阪市立大学(1972年/理系前期第2問)

$6$乗してはじめて$1$になる複素数を求めよ。

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名古屋市立大学(1975年/前期第2問)

連続した正の整数からなる数列の和が$1000$に等しいという。このような数列をすべて求めよ。

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名古屋大学(1977年/前期共通第3問)

関数$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$のグラフ上の$2$点を結ぶ線分の中点となるような点全体の集合を図示せよ。

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東北大学(1980年/前期(教育)第2問)

原点$\mathrm{O}$から直線 ${\displaystyle \frac{x-2}{3}}={\displaystyle \frac{y-1}{4}}={\displaystyle \frac{1-z}{5}}$ に下ろした垂線の長さを求めよ。

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東京工業大学(1988年/前期第5問)

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left({\displaystyle \frac{{}_{3n}{\mathrm{C}}_n}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}}\right)}^{\frac{1}{n}}}$ を求めよ。

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お茶の水女子大学(1988年/前期/(数)第4問/(物理)第2問)

$3^x-2x^2-1=0$ の異なる実数解の個数を調べよ。

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東京工業大学(1989年/前期第4問)

次の極限値を求めよ。　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\pi }{x}^2|\sin nx|dx}$

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お茶の水女子大学(1989年/前期(数)第2問)

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^x|\sin t|e^{-t}dt}$ を求めよ。

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大阪大学(1990年/前期文系第3問)

点$(1,0)$を通り、曲線 $y=x^4-2x^2+1$ に接する直線の方程式をすべて求めよ。

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お茶の水女子大学(1991年/前期理系第3問)

半径$1$の球に内接する正四面体の$1$辺の長さを求めよ。

※2005年北海道大に同一の出題あり

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東京工業大学(1993年/後期第1問)

一辺の長さが1の立方体を，中心を通る対角線のうちの一本を軸として回転させたとき，この立方体が通過する部分の体積を求めよ．

※問題文はやや長めですが類題多数の問題ということで掲載します。

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名古屋大学(1994年/前期理系第4問(b))

長方形に置かれた三角形の面積は，もとの長方形の面積の${\displaystyle \frac{1}{2}}$を越えないことを示せ。

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お茶の水女子大学(1995年/(数)前期第7問)

${\displaystyle \frac{100}{120}}<\sin 1<{\displaystyle \frac{101}{120}}$ を示せ。ただし、$\sin 1$ の $1$ はラジアンの意味である。

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お茶の水女子大学(1998年/(数)前期第6問)

$\tan {50}^{\circ }\tan ({90}^{\circ }-x)=\tan {80}^{\circ }\tan ({50}^{\circ }-x)$ の解を求めよ。

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千葉大学(1999年/前期第9問((数学情報)第5問))

$8n^3+40n$が$2n+1$で割り切れるような正整数$n$をすべて求めよ。

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東京工業大学(1999年/後期第1問)

次の極限値 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}nx}{1+x}}dx}$ を求めよ。

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お茶の水女子大学(1999年/前期理系第1問)

$a$を定数とするとき、$|x|+2|y|=2$ と $y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-a$ の交点の個数を求めよ。

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お茶の水女子大学(1999年/(数)前期第4問)

$n$を正整数とする。$2^n+1$ は$15$で割り切れないことを示せ。

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一橋大学(2001年/後期第1問)

$m$を正の整数とする。$m^3+3m^2+2m+6$はある整数の$3$乗である。$m$を求めよ。

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和歌山大学(2001年/前期(システム工？)第1問)（数学簿記）

区分式の損益計算書の構造について説明し、その意味を解説しなさい。

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東京大学(2003年/前期理系第6問)

円周率が$3.05$より大きいことを証明せよ。

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京都大学(2003年/後期文系第5問/後期理系第6問)

多項式$(x^{100}+1{)}^{100}+(x^2+1{)}^{100}+1$は多項式$x^2+x+1$で割り切れるか。

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京都大学(2003年/後期理系第5問)

次の極限値 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^k{\left({\displaystyle \frac{k}{2n}}\right)}^{100}}$ を求めよ。

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第14回日本数学オリンピック(2004年/本選第1問)

$2n^2+1$、$3n^2+1$、$6n^2+1$がどれも平方数であるような正整数$n$は存在しないことを示せ。

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北海道大学(2005年/前期文系第4問/前期理系第5問)

半径$1$の球に内接する正四面体の一辺の長さを求めよ。

※1991年お茶の水女子大(理系)に同一の出題あり

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和歌山県立医科大学 (2006年/前期第2問)

自然数$n$に対して、${\displaystyle \sum _{k=1}^{12n-1}{(\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{12}})}^2}$ を求めよ。

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京都大学(2006年/後期文系第5問/後期理系第6問)

$\tan 1^{\circ }$は有理数か。

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国際数学オリンピック　ベトナム大会(2007年/第5問)

Let $a$ and $b$ be positive integers. Show that if $4ab-1$ divides $(4a^2-1{)}^2$, then $a=b$.

和訳：$a、b$を正の整数とする。$4ab-1$が$(4a^2-1{)}^2$を割り切るならば$a=b$であることを示せ。

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和歌山県立医科大学 (2006年/前期第2問)

$f(x)=(\sin x{)}^2+(\sin 2x{)}^2$ の $0<x<\pi$ における極値を求めよ。

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日本獣医生命科学大学(2008年/(獣医)第2問)

多項式$P(x)$は $P(P(x))=P(x^2)$ を満たしている。このとき$P(x)$をすべて求めよ。

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一橋大学(2009年/前期第1問)

$2$以上の整数$m、n$は $m^3+1^3=n^3+{10}^3$ を満たす。$m、n$を求めよ。

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第19回日本数学オリンピック(2009年/本選第1問)

$8^n+n$が$2^n+n$で割りきれるような正の整数$n$をすべて求めよ。

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名古屋市立大学 (2010年/(芸術工)前期第1問)

方程式 $2x\sin x-3=0(-\pi \leqq x\leqq \pi )$ の解の個数を求めよ。

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和歌山県立医科大学 (2011年/前期第1問)

等式 $|x-2y|=y+\sqrt{1-x}+1$ を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。

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千葉大学(2013年/前期第9問(理系第5問))

$m^4+14m^2$が$2m+1$の整数倍となるような整数$m$をすべて求めよ。

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千葉大学(2013年/前期第10問((数学情報)第6問))

$\tan {10}^{\circ }=\tan {20}^{\circ }\cdot \tan {30}^{\circ }\cdot \tan {40}^{\circ }$ を示せ。

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東京工業大学(2013年/前期第3問)

$k$を定数とするとき、方程式 $e^x-x^e=k$ の異なる正の解の個数を求めよ。

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信州大学(2013年/後期(医)第1問)

方程式 $a\cdot 2^x-x^2=0$ が異なる$3$つの解を持つような実数$a$をすべて求めよ。

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奈良教育大学(2013年/(教育)第5問)

三角形の$3$辺の垂直二等分線は$1$点で交わることを証明せよ 。

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岡山大学(2013年/前期理系第1問)

曲線 $y=|x-{\displaystyle \frac{1}{x}}|(x>0)$ と直線 $y=2$ で囲まれた領域の面接$S$を求めよ。

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大阪大学(2014年/前期第3問)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{40000}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}}$ の整数部分を求めよ。

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第24回日本数学オリンピック(2014年/本選第2問)

$2^a+3^b+1=6^c$ をみたす正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ。

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宮城大学(2015年/前期(事業構想(デザイン情報))第1問/問2)

${\log }_{10}2<0.31$ が成り立つことを示しなさい。

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東京大学(2015年/前期理系第5問)

$m$を$2015$以下の正の整数とする。${}_{2015}{\mathrm{C}}_m$が偶数となる最小の$m$を求めよ。

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信州大学(2015年/前期(教育)第4問)

$\sqrt{2}<e^{\frac{1}{e}}$ を示せ。

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奈良教育大学(2015年/(教育)第1問)

一辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$a$で表せ。

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第25回日本数学オリンピック(2015年/本選第1問)

${\displaystyle \frac{{10}^n}{n^3+n^2+n+1}}$ が整数となるような正の整数$n$をすべて求めよ。

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愛媛大学(2016年/前期(医)第5問)

正方形$\mathrm{ABCD}$の内部の点$\mathrm{P}$に対して$\mathrm{\angle }\mathrm{CPD}$が直角であるとき、${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}$の最大値を求めよ。

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一橋大学(2017年/前期第3問)

$P(0)=1$、$P(x+1)-P(x)=2x$ を満たす整式$P(x)$を求めよ。

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京都大学(2018年/前期文系第3問/前期理系第2問)

$n^3-7n+9$ が素数となる整数$n$をすべて求めよ。

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香川大学(2019年/(医)第2問)

$0<x<1$ において、$1-x^2$、$\sqrt{1-x^2}$、$\cos x$ の値の大小を比較せよ。

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京都大学(2021年/前期理系第3問)

無限級数 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cos \frac{n\pi }{6}}$ の和を求めよ。

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京都大学(2021年/前期理系第4問)

曲線 $y=\log (1+\cos x)\mathrm{の}0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ の部分の長さを求めよ。

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