雑題ログ：4次関数（複接線）の問題

4次関数（複接線）の問題

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東北大学(1959年/数学Ⅰ(代数)第1問)

（１）四次式$$f(x)=4x^4+a{x}^3-11x^2-30x+25$$が二次式の平方になるように$a$の値を定めよ。

（２）この$a$の値に対する$\sqrt{f(x)}$の $-3\leqq x\leqq 0$ における最大値を求めて理由を付記せよ。

※実質的に2次関数の問題。

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京都大学(1959年/数学Ⅱ第1問抜粋)

四次方程式 $x^4+p{x}^3+8x^2+px+1=0$ が4つの実根をもつようにするために、係数$p$に与えるべき実数値の範囲を求めよ。

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大阪大学(1959年/数学Ⅲ第2問)

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北海道大学(1961年/文系(数学Ⅲ)第2問)

$f(x)=x^4-4x^3+2a{x}^2$ について、次の問いに答えよ。

（１）$f(x)$が極大値をもたないのは$a$の値がどんな範囲のときか。

（２）$f(x)$が極大値をとるとき、極大値を与える$x$の値を求めよ。

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九州大学(1961年/文系(数学Ⅱ)第1問)

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北海道大学(1963年/文系(数学Ⅲ)第3問)

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大阪大学(1963年/前期文理共通第2問)

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横浜国立大学(1964年/前期理系(工)第4問)

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横浜国立大学(1966年/前期文系(経済)第5問)

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京都大学(1967年/前期理系第4問/前期文系第3問)

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九州大学(1970年/理系第3問)

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早稲田大学(1970年/理工第4問)

※4次関数の因数分解に関する問題。（領域図示）

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京都大学(1974年/前期理系第3問)

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横浜国立大学(1978年/前期理系(工)第3問)

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東北大学(1979年/前期(教育)第3問)

$f(x)=x^4-x^3+x^2-x$ とする。

（１）曲線 $y=f(x)$ が$x$軸と交わる点の座標を求めよ。

（２）これらの点におけるこの曲線の接線の方程式を求めよ。

（３）これらの接線とこの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。

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横浜国立大学(1981年/前期文系(経済)第4問)

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東京工業大学(1982年/第3問)

曲線 $y=x^4-6x^2$ を$C$とし、不等式 $y>x^4-6x^2$ で定まる領域内の点$P(\alpha ,\beta )$から異なる4本の接線が$C$に引けるとする。このとき点$P$の動きうる領域$D$を求め図示せよ。

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横浜国立大学(1982年/前期文系(経済)第4問)

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横浜国立大学(1985年/前期文系(経済)第4問)

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筑波大学(1987年/文理共通第2問)

曲線 $y=x^4-x^3$ 上の1点$A=(\alpha ,{\alpha }^4-{\alpha }^3)$における接線を$l$とする。

（１）$l$の方程式を求めよ。

（２）$l$が上の曲線と$A$以外の点で再び接するように$\alpha$の値を定めよ。

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京都大学(1988年/文科Ａ第1問)

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九州大学(1989年/文系第3問)

※複接線の問題。

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東京大学(1990年/前期文系第2問)

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京都大学(1990年/後期理系(工/農/薬/医)第4問)

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大阪大学(1990年/前期理系第3問)

点$(a,0)$を通り、曲線 $y=x^4-2x^2+1$ に接する直線が$x$軸以外にただ1本存在するような$a$の値をすべて求めよ。

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大阪大学(1990年/前期文系第3問)

点$(1,0)$を通り、曲線 $y=x^4-2x^2+1$ に接する直線の方程式をすべて求めよ。

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早稲田大学(1991年/政経第1問抜粋)

※複接線の問題。（面積計算）

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名古屋大学(1991年/前期共通第1問)

4次関数のグラフが、$y$軸に平行なある直線に関して対称になるための係数$a,b,c,d$の間の関係式を求めよ。

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東京工業大学(1993年/第3問)

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筑波大学(1993年/文理共通第3問)

曲線 $y=x^4-2x^2$ の接線が、この曲線と接点以外に異なる2点で交わる条件を求めよ。また、このとき、接線から接点と2つの交点で切り取られる2つの線分の長さが等しくなるときの接点の座標を求めよ。

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早稲田大学(1993年/政経第1問)

※面積の計算問題。

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東北大学(1993年/後期理系第3問)

※単接線と4次関数で囲まれる部分の面積の計算問題。

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東北大学(1995年/前期文系第2問)

関数 $-x^4+x^3+x^2-x-|x^4+x^3-x^2-x|$ の増減を調べ、そのグラフを描け。

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大阪市立大学(1995年/前期理系第1問)

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大阪大学(1995年/後期理系第1問)

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大阪大学(1996年/前期文系第3問)

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京都大学(2001年/文系第1問)

※理系第2問の類題。理系の問題は5次式バージョン。

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大阪大学(2001年/前期理系第2問)

$f(x)=x^4+x^3-3x^2$ とおく。曲線 $y=f(x)$ に点$(0,a)$から接線がただひとつ引けるとししかもその接線はただ1点でこの曲線に接するとする。このときの$a$の値を求めよ。

※1990年の類題。1990年の問題は「すべて求めよ。」となっており、実際に答えは複数存在します。2001年の問題では単に「求めよ。」となっており、実際に答えとなる$a$の値は一つしか存在しません。阪大は受験生に優しいですね。

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徳島大学(2001年/(薬/歯/医)第4問)

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東北大学(2002年/文理共通第1問)

※4次方程式の問題。（虚数解含む）

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京都大学(2002年/理系第3問/文系第1問)

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九州大学(2003年/後期理系(工)第2問抜粋)

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早稲田大学(2003年/理工第1問)

※複素平面と絡んだ4次方程式の問題。

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東北大学(2005年/後期理系第2問)

※4次方程式の問題。（虚数解含む）

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弘前大学(2007年/前期理系(理工/医)第3問)

$f(x)=x^4+2x^3-3x^2+x+1$ とする。

（１）4次式 $f(x)-mx-n$ が$2$次式の$2$乗となるような定数$m、n$の値を求めよ。

（２）$m、n$が（１）で求めた値のとき、直線 $y=mx+n$ と曲線 $y=f(x)$ によって囲まれた部分の面積を求めよ。

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大阪市立大学(2007年/前期理系第2問)

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津田塾大学(2009年/学芸(数学科)第2問)

次数が $n$ の多項式$$f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$が $f(x)=(x–\alpha {)}^n$ という形に因数分解できるとき、$\alpha$ を方程式 $f(x)=0$ の $n$ 重解ということにする。

（１）方程式 $x^2+ax+b=0$ が２重解 $\alpha$ を持つとする。$a$、$b$ が整数のとき、$\alpha$ は整数であることを示せ。

（２）方程式 $x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+s=0$ が４重解 $\beta$ を持つとする。$p$、$q$ が整数のとき、$\beta$ は整数であり、$r$、$s$ も整数であることを示せ。

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横浜市立大学(2010年/医（医）第1問(1))

4次方程式$$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$$を考える。ただし, $a,b,c,d,e$ は定数で, $a\ne 0$ とする。$x=t+\alpha$ ($\alpha$は定数)とおいて, $t$に関する4次方程式$$t^4+C{t}^2+Dt+E=0$$の形にする。このとき $D=0$ となる条件式を $a,b,c,d$ を用いて表せ。

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愛知県立大学(2010年/情報科第2問)

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東大プレ(2014年/第2回理系(代ゼミ))

※4次関数が複接線を持つ条件に関する問題。（著作権の関係で問題文の掲載を控えさせて頂きます）

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大阪大学(2018年/前期理系第2問)

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慶應義塾大学(2022年/環境情報第3問)

 

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