ルートを含む分数の有理化④ $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5}}$
コツ
平方根（ルート）を「平方の差」に変形するのは前の３問と同じですが、どの組み合わせで平方を作るかを工夫する必要があります。平方にしたときにできるだけ項の数が少なくなるようにしましょう。$2=\sqrt{4}$ であることに注意すると･･･？
解答例
$$\small \begin{align}
& \quad \color{red}{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5}}} \\
& = \frac{1}{(\sqrt{3}+2)+(\sqrt{2}+\sqrt{5})} \times \color{blue}{\frac{(\sqrt{3}+2)-(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+2)-(\sqrt{2}+\sqrt{5})}} \\
& = \frac{(\sqrt{3}+2)-(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+2)^2-(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2} \\
& = \frac{(\sqrt{3}+2)-(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{(7+4\sqrt{3})-(7+2\sqrt{10})} \\
& = \frac{(\sqrt{3}+2)-(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{2(2\sqrt{3}-\sqrt{10})} \\
& = \frac{(\sqrt{3}+2)-(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{2(2\sqrt{3}-\sqrt{10})} \times \color{blue}{\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}} \\
& = \frac{\{(\sqrt{3}+2)-(\sqrt{2}+\sqrt{5})\}(2\sqrt{3}+\sqrt{10})}{2(12-10)} \\
& = \color{red}{\frac{6-5 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-2 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}+2 \sqrt{10}-2 \sqrt{15}+\sqrt{30}}{4}}
\end{align}$$