ルートを含む分数の有理化⑤

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ルートを含む分数の有理化⑤ $\dfrac{\sqrt{\sqrt{5}+1}+\sqrt{\sqrt{5}-1}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}-\sqrt{\sqrt{5}-1}}$

 

コツ

複雑な式に対しては置き換えが有効です。視覚的な単純化によって解答の道筋を捉えるのが容易になるのは有理化だけに限りません。

 

 解答例

$a=\sqrt{5}+1$、$b=\sqrt{5}-1$ とおくと、$$\begin{aligned} & \quad \color{red}{\frac{\sqrt{\sqrt{5}+1}+\sqrt{\sqrt{5}-1}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}-\sqrt{\sqrt{5}-1}}} \\ &=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \\ &=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{(\sqrt{a})^{2}-(\sqrt{b})^{2}} \\ &=\frac{a+b+2 \sqrt{a b}}{a-b} \\ &=\frac{2 \sqrt{5}+2 \sqrt{(\sqrt{5})^{2}-1^{2}}}{2} \\ &=\color{red}{2+\sqrt{5}} \end{aligned}$$


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