置換による式計算①
【$s=x+y$、$t=xy$ 型】
問題
$x=\sqrt{5}+\sqrt{3}$、$y=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めよ。
（１）$x^{2}+y^{2}$
（２）$x^{3}+y^{3}$
（３）$x^{2} y+x y^{2}$
（４）$\dfrac{x^{2}}{y}+\dfrac{y^{2}}{x}$
コツ
２元多項式（２つの文字からなる多項式）は一般に、基本対称式 $x+y$、$xy$ によって表現することができます。和 $x+y$ と積 $xy$ を求めて高次の式を計算します。
解答例
和は$$\begin{aligned} & \quad x+y \\ &=(\sqrt{5}+\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \\ &=2 \sqrt{5}\end{aligned}$$となり、積は$$\begin{aligned} & \quad xy \\ &=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \\ &=5-3 \\ & =2 \end{aligned}$$となる。
（１）$$\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=(x+y)^{2}-2 x y \\ &=(2 \sqrt{5})^{2}-2 \cdot 2 \\ &=20-4 \\ &=16 \end{aligned}$$（２）$$\begin{aligned} x^{3}+y^{3} &=(x+y)^{3}-3 x y(x+y) \\ &=(2 \sqrt{5})^{3}-3 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{5} \\ &=40 \sqrt{5}-12 \sqrt{5} \\ &=28 \sqrt{5} \end{aligned}$$（３）$$\begin{aligned} x^{2} y+x y^{2} &=x y(x+y) \\ &=2 \cdot 2 \sqrt{5} \\ &=4 \sqrt{5} \end{aligned}$$（４）$$\begin{aligned} \dfrac{x^{2}}{y}+\dfrac{y^{2}}{x} &=\dfrac{x^{3}+y^{3}}{x y} \\ &=\frac{28 \sqrt{5}}{2} \\ &= 14 \sqrt{5} \end{aligned}$$