置換による式計算②
【$x^3+y^3$ の計算】
問題
$x=\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$、$y=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ のとき、次の式の値を求めよ。
（１）$x^{2}+y^{2}$
（２）$x^{3}+y^{3}$
（３）$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}+\left(y+\frac{1}{y}\right)^{3}$
コツ
まずは和 $x+y$ と積 $xy$ を求めます。（３）は上手く工夫できると計算がラクに済みます。
解答例
$$\begin{aligned} x+y &=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \\ &=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{7}-\sqrt{5})^{2}}{(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{5})^{2}} \\ &=12 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} xy &=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \\ &=1 \end{aligned}$$である。
（１）$$\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=(x+y)^{2}-2 x y \\ &=12^{2}-2 \cdot 1 \\ &=142 \end{aligned}$$（２）$$\begin{aligned} x^{3}+y^{3} &=(x+y)^{3}-3 x y(x+y) \\ &=12^{3}-3 \cdot 1 \cdot 12 \\ &=1692 \end{aligned}$$（３）$y=\dfrac{1}{x}$、$x=\dfrac{1}{y}$ であることを用いると、$$\begin{aligned}
\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}+\left(y+\frac{1}{y}\right)^{3} &=(x+y)^{3}+(y+x)^{3} \\
&=2(x+y)^{3} \\
&=2 \cdot 12^{3} \\ &=3456
\end{aligned}$$