置換による式計算③
【$x^5+y^5$ の計算】
問題
$s=x+y$ と $t=xy$ と置くとき、$$x^{5}+y^{5}$$を $s$、$t$ で表せ。
コツ
５乗和なので、まずは２乗和と３乗和の積を考えます。$$\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{3}+y^{3}\right)=x^{5}+y^{5}+(x y)^{2}(x+y)$$となるので、両辺で辻褄を合わせれば所望の式が得られます。これは６乗和以上でも使えるテクニックなので覚えておきましょう！
解答例
$$\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=\left(x+y\right)^{2}-2xy \\ &=s^2-2t \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} x^{3}+y^{3} &=\left(x+y\right)^{3}-3xy(x+y) \\ &=s^3-3st \end{aligned}$$より、$$\begin{aligned} x^{5}+y^{5} &=\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{3}+y^{3}\right)-(x y)^{2}(x+y) \\ &=(s^2-2t)(s^3-3st)-st^2 \\ &=\color{red}{s^5+5st^2-5ts^3} \end{aligned}$$を得る。