置換による式計算④
【多項式の計算】
問題
$f(x)=x^{5}+3 x^{4}-x^{3}+x^{2}-4 x+2$ とするとき、$f(1+\sqrt{2})$の値を求めよ。
コツ
このような多項式の計算では剰余の定理を使うと計算が簡単になることがあります。
※本問は置換を用いて計算している訳ではないですが、カタマリを意識するという点で取り上げました。
解答例
$x=1+\sqrt{2}$ と置くと、$x-1=-\sqrt{2}$ より両辺二乗して$$\therefore x^{2}-2 x+1=2$$ $$\therefore x^{2}-2 x-1=0 \quad \cdots (*)$$となる。
ここで、$f(x)$を $x^{2}-2 x-1$ で割ると、$$\begin{array}{rrr|rrrrrr}
& & & & & \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{10} & \color{red}{26} \\ \hline
1 & -2 & -1 & 1 & 3 & -1 & 1 & -4 & 2 \\
& & & 1 & -2 & -1 & & & \\ \hline
& & & & 5 & 0 & 1 & -4 & 2 \\
& & & & 5 & -10 & -5 & & \\ \hline
& & & & & 10 & 6 & -4 & 2 \\
& & & & & 10 & -20 & -10 & \\ \hline
& & & & & & 26 & 6 & 2 \\
& & & & & & 26 & -52 & -26 \\ \hline
& & & & & & & \color{red}{58} & \color{red}{28}
\end{array}$$となるから$$\begin{align}
f(x)&=x^{5}+3 x^{4}-x^{3}+x^{2}-4 x+2 \\
&=\left(x^{3}+5 x^{2}+10 x+26\right)\left(x^{2}-2 x-1\right)+58 x+28
\end{align}$$と変形できる。したがって、$(*)$に注意すると、$$\begin{align}
f(1+\sqrt{2}) &=58+58 \sqrt{2}+27 \\
&=\color{red}{86+58 \sqrt{2}}
\end{align}$$と求められる。