置換による式計算⑤

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置換による式計算⑤

【３次方程式の解の計算】

問題

$$\alpha ={\{{\left(\frac{413}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}+6\}}^{\frac{1}{3}}-{\{{\left(\frac{413}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}-6\}}^{\frac{1}{3}}$$は整数を係数とする３次方程式$$2x^3+A{x}^2+Bx+C=0$$の解である。このとき、整数 $A$、$B$、$C$ を求めよ。

 

コツ

文字による置き換えが威力を発揮する場面の一つです。三乗根を新たに文字で置くと見通しが良いでしょう。

 

 解答例

$\alpha =p-q$ と置くと、$$\begin{array}{rl}{\alpha }^3& =(p-q{)}^3\\ & =p^3–3pq(p-q)–q^3\cdots (\ast )\end{array}$$となる。

いま、$$\begin{array}{rl}pq& ={\{{\left(\frac{413}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}+6\}}^{\frac{1}{3}}\cdot {\{{\left(\frac{413}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}-6\}}^{\frac{1}{3}}\\ & ={(\frac{413}{8}-36)}^{\frac{1}{3}}\\ & ={\left(\frac{125}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}\\ & =\frac{5}{2}\end{array}$$したがって、$(\ast )$より、$$\begin{array}{rl}{\alpha }^3& =\{{\left(\frac{413}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}+6\}-\{{\left(\frac{413}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}-6\}-3\cdot {\displaystyle \frac{5}{2}}\alpha \\ & =12–{\displaystyle \frac{15}{2}}\alpha \end{array}$$ $$\therefore 2{\alpha }^3+15\alpha –24=0$$となる。したがって、$A=0$、$B=15$、$C=-24$ を得る。

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