置換による式計算⑤
【３次方程式の解の計算】
問題
$$\alpha=\left\{\left(\frac{413}{8}\right)^{\frac{1}{2}}+6\right\}^{\frac{1}{3}}-\left\{\left(\frac{413}{8}\right)^{\frac{1}{2}}-6\right\}^{\frac{1}{3}}$$は整数を係数とする３次方程式$$2x^3+Ax^2+Bx+C=0$$の解である。このとき、整数 $A$、$B$、$C$ を求めよ。
コツ
文字による置き換えが威力を発揮する場面の一つです。三乗根を新たに文字で置くと見通しが良いでしょう。
解答例
$\alpha=p-q$ と置くと、$$\begin{align}
\alpha^3 &=(p-q)^{3} \\
&=p^3 – 3 pq(p-q) – q^3 \quad \cdots (*)
\end{align}$$となる。
いま、$$\begin{align}pq&=\left\{\left(\frac{413}{8}\right)^{\frac{1}{2}}+6\right\}^{\frac{1}{3}}\cdot\left\{\left(\frac{413}{8}\right)^{\frac{1}{2}}-6\right\}^{\frac{1}{3}} \\ &=\left(\frac{413}{8}-36\right)^{\frac{1}{3}} \\ &=\left(\frac{125}{8}\right)^{\frac{1}{3}} \\ &=\frac{5}{2} \end{align}$$したがって、$(*)$より、$$\begin{align} \alpha^3 &= \small{\left\{\left(\frac{413}{8}\right)^{\frac{1}{2}}+6\right\}-\left\{\left(\frac{413}{8}\right)^{\frac{1}{2}}-6\right\}}-3 \cdot \dfrac{5}{2}\alpha \\ &= 12 – \dfrac{15}{2}\alpha \end{align}$$ $$\therefore 2\alpha^3 + 15\alpha – 24=0$$となる。したがって、$A=\color{red}{0}$、$B=\color{red}{15}$、$C=\color{red}{-24}$ を得る。