自然数はどこまでも続く。実数も無限にある。どちらも数え終わらないのなら、同じ大きさと考えたくなる。集合の大きさを、一つずつ対応させられるかどうかで比べると、無限の間にも違いが現れる。
偶数は自然数と同じ個数なのか
自然数1、2、3、…に、偶数2、4、6、…を順に対応させる。各自然数を2倍すれば、偶数と一対一に結び付く。偶数は自然数の一部分でありながら、集合の濃度という意味では同じ大きさになる。
有限集合では、要素を取り除けば必ず個数が減る。無限集合へ同じ直観を持ち込むと戸惑うが、一対一対応という比較の規則自体は明確である。並べ方の間隔や、数直線上で占める長さと、集合の濃度は異なる概念なのである。
実数を一覧にしようとすると
0と1の間の実数をすべて、一番目、二番目、三番目、…と並べられたと仮定する。それぞれを小数で書き、一番目の数の小数第一位、二番目の数の第二位というように、斜めに数字を読む。
その斜めの各桁と異なる数字を選んで、新しい小数を作る。例えば、対象の桁が1なら2を、1以外なら1を選ぶ。この数は、一番目とは第一位で、二番目とは第二位で異なり、どの行の数とも一致しない。すべて並べたはずの一覧に、必ず抜けが生じる。
終わらないことだけでは同じにならない
これが対角線論法の基本である。自然数で順番を付けてすべて列挙できる無限を可算といい、実数の集合はその方法では列挙できない非可算の集合となる。0と1の間だけでも、自然数とは異なる大きさがある。
無限の大きさの比較は、宇宙に物が何個あるかという測定とは別の数学的な問いである。決めた規則に従って何を証明できるかを考えると、「どちらも終わらない」という日常語の一言の中に、複数の構造が隠れていることが分かる。
小数には0.4999…と0.5000…のような二通りの表示がある。各実数の表示を統一し、新しい数の桁を1と2で作ると、この重複による問題を避けられる。
参考資料
参考資料確認日：2026年10月14日。