復習例題1.2.2
次の関数は $x=0$ で連続かどうか答えよ。
（１）$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+x}{|x|}$
（２）$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{e^x-1} & (x \ne 0) \\ \ \ \ \ \ 1 & (x=0) \end{cases} $
《ポイント》
基本的な極限計算です。
《解答例》
（１）
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0+0} \dfrac{x^2+x}{|x|} &= \lim_{x \to 0+0} \dfrac{x^2+x}{x} \\ &=\lim_{x \to 0+0} x+1 \\ &=1 \end{align}$
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0-0} \dfrac{x^2+x}{|x|} &= \lim_{x \to 0-0} \dfrac{x^2+x}{-x} \\ &=-\lim_{x \to 0-0} x+1 \\ &=-1 \end{align}$
したがって$f(x)$は$x=0$で連続でない。
（２）
自然対数$e$の定義より、
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-e^0}{x-0}=1$
である。故に$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{e^x-1}=1$であるから、$f(x)$は$x=0$で連続である。
《コメント》
高校数Ⅲの範囲ですね。ある点$x=a$で極限値が一致するなら$x=a$で連続、一致しなければ$x=a$で不連続です。