整数第２章第４節　２．不等式の利用

解答例

$n \geqq 4$ のとき、$n^2<2^n+1$を数学的帰納法により示す。

$n=4$のとき、（左辺）$=16$、（右辺）$=17$より、成立。

$n=k \ (k \geqq 5)$のとき、$k^2<2^k+1$の成立を仮定すると、$$\begin{align} 2^{k+1}+1-(k+1)^2 &= 2 \cdot 2^k – (k^2+2k) \\ &> 2(k^2-1)-(k^2+2k) \\ &= k^2-2k-2 \\ &= (k-1)^2-3 \end{align}$$となる。$k \geqq 5$のとき$ (k-1)^2-3 >0$だから、$n=k+1$のときでも成立する。

以上より、数学的帰納法から$n \geqq 4$のとき、$n^2<2^n+1$であることが言えるから、可能な$n$は$1,2,3$に限られる。このうち$n^2=2^n+1$を満たすような$n$は$n=3$のみであるから、求める自然数$n$は$$\color{red}{n=3} \ \cdots \cdots (\text{答})$$である。

解答例

与式は$a、b$について対称だから$a \leqq b$と設定しても一般性は失われない。（←これが重要！）

これより$\dfrac{1}{a} \geqq \dfrac{1}{b}$であるから、$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2}$$ $$\therefore \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a} \geqq \dfrac{1}{2}$$ $$\therefore \dfrac{2}{a} \geqq \dfrac{1}{2}$$ $$\therefore a \leqq 4 $$となる。故に可能な$a$の値は$1,2,3,4$である。

$a=1$のとき、与式の左辺は$1$より大きくなるが、右辺は$1$より小さいので不適。

$a=2$のとき、与式の左辺は$\dfrac{1}{2}$となり、与式は$\dfrac{1}{b}=0$と変形できるが、このような$b$は存在しないので不適。

$a=3$のとき、与式は$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{6}$と変形できる。故に$(a,b)=(3,6)$を得る。

$a=4$のとき、与式は$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{4}$と変形できる。故に$(a,b)=(4,4)$を得る。

$a \geqq b$とすれば全く同様に$(a,b)=(4,4)、(6,3)$を得るから、以上により、求める$a、b$の組は$$\color{red}{(a,b)=(3,6)、(4,4)、(6,3)} \ \cdots \cdots (\text{答})$$である。

解答例

分数が整数となるためには分子が分母より大きいことが必要である。故に$2x \geqq y^2+1、2y \geqq x^2+1$が必要である。これらより、$$\begin{align}  \left( \dfrac{y^2+1}{2} \right)^2+1 & \leqq 2y \\ \therefore y^4+2y^2+5 & \leqq 8y \\ \therefore y^4+2y^2-8y+5 & \leqq 0 \\ \therefore (y-1)^2 (y^2+2y+5) & \leqq 0 \\ \therefore y &= 1 \end{align}$$となる。よって$2 \geqq x^2+1$より、$x=1$を得る。

また、$(x,y)=(1,1)$のとき$\dfrac{2x}{y^2+1}$、$\dfrac{2y}{x^2+1}$はともに整数となるから題意に適する。

以上より、求める$x、y$の組は$$\color{red}{(x,y)=(1,1)} \ \cdots \cdots (\text{答})$$である。

解答例

分母は$0$でないから $n+1 \ne 0 \iff n \ne -1$ である。

与式は$$\dfrac{n^2+4n+5}{n+1}=n+3+\dfrac{2}{n+1}$$と変形できる。$n+3$は整数だから、与式が整数となるためには$\dfrac{2}{n+1}$が整数となる必要がある。よって$n+1$は$2$を割り切らなければならないから、$n+1=\pm 1 , \pm 2$ が必要である。よって $n=-3,-2,0,1$ を得る。

$n=-3,-2,0,1$のとき与式はそれぞれ $-1,-1,5,5$ となり整数となるから題意に適する。

以上より、求める整数$n$は$$\color{red}{n=-3,-2,0,1} \ \cdots \cdots (\text{答})$$である。

解答例

$$\begin{align}& \ \ \ \ \ (4n^2+n-3)-(2n-1)^2 \\ &=5n-4 \\ &>0 \end{align}$$および、$$\begin{align}& \ \ \ \ \ (2n+1)^2-(4n^2+n-3) \\ &=3n+4 \\ &>0 \end{align}$$より、$$(2n-1)^2 < 4n^2+n-3 < (2n+1)^2$$が成立する。よって、$4n^2+n-3$が平方数となるためには$4n^2+n-3=(2n)^2$が必要であるから、これを解いて$n=3$を得る。

また、$n=3$を $4n^2+n-3$ に代入すると$36$となり、確かに平方数となっている。

以上より、求める自然数$n$は$$\color{red}{n=3} \ \cdots \cdots (\text{答})$$である。

解答例

ガウス記号の定義より、$\left[ \dfrac{n}{2} \right] \leqq \dfrac{n}{2}$となるから、与式の右辺について、$n^2-1 \leqq \dfrac{n}{2}$が必要である。これを解くと$$\dfrac{1-\sqrt{17}}{4} \leqq n \leqq \dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$$を得る。$n$は整数だから、$n=0、1$に限られる。

$n=0$のとき、$\left[ \dfrac{n}{2} \right]=0$、$n^2-1=-1$となり不適。

$n=1$のとき、$\left[ \dfrac{n}{2} \right]=0$、$n^2-1=0$となり適する。

以上より求める整数$n$は$$\color{red}{n=1} \ \cdots \cdots (\text{答})$$である。