問題#C004 ★★☆☆
正の整数 $x$、$y$ が等式 $4x+5y=73$ を満たすとき、和 $x+y$ の最大値と、そのときの組$(x,y)$をすべて求めよ。
《ポイント》
１次不定方程式をちょっと捻った問題ですが、実は#C004と同じようなことを訊いているだけの問題です。本問で求めるものは解の和の最大値です。
《解答例》
$$4x+5y=73$$ $$\therefore 4(x-7)+5(y-9)=0 \tag{1}$$
よって、ある整数$m$、$n$を用いて$$x-7=5m、y-9=4n$$と置くことができて、与式に代入すると$$20m=-20n \ \ \ \therefore m=-n$$となるから、$(1)$を満たすすべての整数解は$$\begin{cases} x=5m+7 \\ z=-4m+9 \end{cases} \ (m \in \mathbb{Z})$$と表される。
$x$、$y$はともに正だから、
$\begin{cases} x=5m+7 > 0 \\ y=-4m+9 > 0 \end{cases}$
が必要である。故に $m=-1、0、1、2$ に限られ、それらのうち $x+y=m+16$ が最大となるのは $m=2$ のとき、即ち$(x,y)=(17,1)$のときであり、最大値は$18$である。
（答）$(x,y)=(17,1)$ のとき、最大値 $18$
《コメント》
１次不定方程式をしっかり解くことのできる力があれば問題無く解答できるはずです。