問題#C006 ★☆☆☆
次の方程式を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。
（１）$xy+x-2y-4=0$
（２）$x^2+x-y^2+y-2=0$
（３）$x^2+3xy+2y^2-4=0$
《ポイント》
整数問題のパターンで非常によく出題されるのが、この因数分解型の不定方程式です。整数係数の不定方程式を特に「ディオファントス方程式」と言いますが、本問で紹介するのはディオファントス方程式の中でも初歩の問題です。
《解答例》
（１）
$\begin{align}
xy+x-2y-4 &=0 \\
\therefore (x-2)(y+1)&=2
\end{align}$
よって$(x-2,y+1)$の可能な組み合わせは以下のようになる。
$(\pm 1,\pm 2)$、$(\pm 2,\pm 1)$ （複号同順）
故に求める整数組は
$(x,y)=(0,-2)$、$(1,-3)$、$(3,1)$、$(4,0)$
となる。
（答）$(x,y)=(0,-2)$、$(1,-3)$、$(3,1)$、$(4,0)$
（２）
$\begin{align}
x^2+x-y^2+y-2 &=0 \\
\therefore (x-y+1)(x+y)&=2
\end{align}$
よって$(x-y+1,x+y)$の可能な組み合わせは以下のようになる。
$(\pm 1,\pm 2)$、$(\pm 2,\pm 1)$ （複号同順）
故に求める整数組は
$(x,y)=(-2,0)$、$(-2,1)$、$(1,0)$、$(1,1)$
となる。
（答）$(x,y)=(-2,0)$、$(-2,1)$、$(1,0)$、$(1,1)$
（３）
$\begin{align}
x^2+3xy+2y^2-4 &=0 \\
\therefore (x+y)(x+2y)&=4
\end{align}$
よって$(x+y,x+2y)$の可能な組み合わせは以下のようになる。
$(\pm 1,\pm 4)$、$(\pm 2,\pm 2)$、$(\pm 4,\pm 1)$ （複号同順）
故に求める整数組は
$(x,y)=(-7,3)$、$(-2,0)$、$(-2,3)$、$(2,-3)$、$(2,0)$、$(7,-3)$
となる。
（答）$(x,y)=(-7,3)$、$(-2,0)$、$(-2,3)$、$(2,-3)$、$(2,0)$、$(7,-3)$
《コメント》
式変形はたすき掛けで行います。因数分解が苦手な方は要復習です。