問題#C007

問題#C007 ★★☆☆

次の方程式を満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ。

(1)x3+x2+xy+y3=0

(2)x2y+y10=0

(3)x3+2x2y+xy+2y26=0

(4)2x2+2xy4x+y2+3=0


《ポイント》

次数が上がり解きにくくなりました。何とか因数分解を試みます。場合によっては平方完成しなければならないこともあります。


《解答例》

(1)

x3+x2+xy+y3=0(x+1)(x2+y)=3

よって(x+1,x2+y)の可能な組み合わせは以下のようになる。

(±1,±3)(±3,±1) (複号同順)

故に求める整数組は

(x,y)=(4,17)(2,7)(0,3)(2,3)

となる。

(答)(x,y)=(4,17)(2,7)(0,3)(2,3)

(2)

x2y+y10=0(x2+1)y=10

よって(x2+1,y)の可能な組み合わせは以下のようになる。

(1,10)(2,5)(5,2)(10,1)

故に求める整数組は

(x,y)=(0,10)(±1,5)(±2,2)(±3,1)

となる。

(答)(x,y)=(0,10)(±1,5)(±2,2)(±3,1)

(3)

x3+2x2y+xy+2y26=0(x+2y)(x2+y)=6

よって(x+2y,x2+y)の可能な組み合わせは以下のようになる。

(±1,±6)(±2,±3)(±3,±2)(±6,±1) (複号同順)

(x+2y,x2+y)=(1,6) のとき2(x2+y)(x+2y)=121 2x2x11=0を得るが、これは整数解を持たないので不適。同様にして順次調べると適する組は (x+2y,x2+y)=(3,2) のときのみで、(x,y)=(1,1) を得る。

故に求める整数組は

(x,y)=(1,1)

となる。

(答)(x,y)=(1,1)

(4)

2x2+2xy4x+y2+3=0(x+y)2+(x2)2=1

左辺は0以上だから(x+y,x2)の可能な組み合わせは以下のようになる。

(±1,0)(0,±1)

故に求める整数組は

(x,y)=(1,1)(2,1)(2,3)(3,3)

となる。

(答)(x,y)=(1,1)(2,1)(2,3)(3,3)


《コメント》

問題のレベルは★×2としていますが、なかなか気付きにくい式変形が必要なので実際には★×3くらいの難しさです。因数分解の基本は「同じものを作ってまとめる」です。平方完成させるタイプ(円・楕円タイプ)はなかなか難しく、入試でもそれほど頻繁には登場しません。因数分解が難しければこのタイプを疑いましょう。


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