問題#C009

問題#C009　★★☆☆

次の方程式を満たす正の整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。

（１）${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=1$

（２）${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

（３）${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{y}}=1$

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《ポイント》

これまでとは変わって、ここからは単位分数の方程式を扱います。単位分数の方程式では大小関係から候補を絞り込みます。

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《解答例》

（１）

与式は $x、y$ について対称だから $x\leqq y$ と設定しても一般性は失われない。これより ${\displaystyle \frac{1}{x}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{y}}$ であるから、

$${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=1$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}\geqq 1$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{2}{x}}\geqq 1$$ $$\therefore x\leqq 2$$

となる。故に可能な$x$の値は $1$、$2$ である。

$x=1$ のとき、与式の左辺は$1$より大きくなるが、右辺は$1$なので不適。

$x=2$ のとき与式は ${\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となり $(x,y)=(2,2)$ を得る。

$x\geqq y$ とすれば全く同様に $(x,y)=(2,2)$ を得るから求める $x、y$ の組は $(x,y)=(2,2)$ である。

（答）$(x,y)=(2,2)$

（２）

与式は $x、y$ について対称だから $x\leqq y$ と設定しても一般性は失われない。これより ${\displaystyle \frac{1}{x}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{y}}$ であるから、

$${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{2}{x}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ $$\therefore x\leqq 4$$

となる。故に可能な$x$の値は $1$、$2$、$3$、$4$ である。

$x=1$ のとき、与式の左辺は$1$より大きくなるが、右辺は$1$より小さいので不適。

$x=2$ のとき、与式の左辺は${\displaystyle \frac{1}{2}}$となり、与式は ${\displaystyle \frac{1}{y}}=0$ と変形できるが、このような$y$は存在しないので不適。

$x=3$ のとき、与式は ${\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ と変形できる。故に $(x,y)=(3,6)$ を得る。

$x=4$ のとき、与式は ${\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ と変形できる。故に $(x,y)=(4,4)$ を得る。

$x\geqq y$ とすれば全く同様に $(x,y)=(4,4)、(6,3)$ を得るから、以上により、求める $x、y$ の組は $(x,y)=(3,6)$、$(4,4)$、$(6,3)$ である。

（答）$(x,y)=(3,6)、(4,4)、(6,3)$

（３）

$${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{y}}=1$$ $$\therefore y+2x=xy$$ $$\therefore (x-1)(y-2)=2$$

よって$(x-1,y-2)$の可能な組み合わせは以下のようになる。

$(\pm 1,\pm 2)$、$(\pm 2,\pm 1)$　（複号同順）

故に求める整数組は

$(x,y)=$(-1,1)$、$(0,0)$、$(2,4)$、$(3,3)$

となる。

（答）$(x,y)=$(-1,1)$、$(0,0)$、$(2,4)$、$(3,3)$

 

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《コメント》

単位分数の方程式は一次式のディオファントス方程式を解くのと基本は同じです。分数のまま解くときは大小関係を仮定して議論を進めしましょう。

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