問題#C011 ★★☆☆
$2 \leqq p < q < r$ を満たす整数 $p、q、r$ の組で、$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \geqq 1$ となるものをすべて求めよ。
《ポイント》
前問同様、大小関係を利用します。
《解答例》
$2 \leqq p < q < r$ より $$\begin{align} 1&\leqq \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \\ &< \dfrac{3}{p} \end{align}$$ $$\therefore p < 3$$
であり、$2 \leqq p$ であるから $p=2$ である。
よって与式は $\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{2}$ となる。
$$\begin{align}\dfrac{1}{2}&= \dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \\ & < \dfrac{2}{q} \end{align}$$ $$\therefore q=3$$
これより $(q,r)=(3,4)$、$(3,5)$、$(3,6)$ を得る。
以上より、求める正の整数 $p、q、r$ の組は
$(p,q,r)=(2,3,4)$、$(2,3,5)$、$(2,3,6)$
である。
（答）$(p,q,r)=(2,3,4)$、$(2,3,5)$、$(2,3,6)$
《コメント》
大小関係の設定は方程式だけでなく、本問のような不等式を解く際にも有用です。
（出典：群馬大(社会情報)2010年第5問など）