問題#C011

問題#C011　★★☆☆

$2\leqq p<q<r$ を満たす整数 $p、q、r$ の組で、${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}\geqq 1$ となるものをすべて求めよ。

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《ポイント》

前問同様、大小関係を利用します。

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《解答例》

$2\leqq p<q<r$ より $$\begin{array}{rl}1& \leqq {\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}\\ & <{\displaystyle \frac{3}{p}}\end{array}$$ $$\therefore p<3$$

であり、$2\leqq p$ であるから $p=2$ である。

よって与式は ${\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となる。

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}\\ & <{\displaystyle \frac{2}{q}}\end{array}$$ $$\therefore q=3$$

これより $(q,r)=(3,4)$、$(3,5)$、$(3,6)$ を得る。

以上より、求める正の整数 $p、q、r$ の組は

$(p,q,r)=(2,3,4)$、$(2,3,5)$、$(2,3,6)$

である。

（答）$(p,q,r)=(2,3,4)$、$(2,3,5)$、$(2,3,6)$

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《コメント》

大小関係の設定は方程式だけでなく、本問のような不等式を解く際にも有用です。

（出典：群馬大(社会情報)2010年第5問など）

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