問題#C012

問題#C012　★★☆☆

方程式$${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{2y}}+{\displaystyle \frac{1}{3z}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdots \cdots \mathrm{①}$$ を満たす正の整数の組$(x,y,z)$について考える。

（１）$x=1$ のとき、方程式①を満たす正の整数 $y、z$ の組をすべて求めよ。

（２）$x$の取り得る値を求めよ。

（３）方程式①を解け。

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《ポイント》

前問同様、大小関係を利用します。誘導設問が付いていますので、これに従えばそれほど難しくありません。

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《解答例》

 

（１）

$x=1$ のとき①式は$${\displaystyle \frac{1}{2y}}+{\displaystyle \frac{1}{3z}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$となる。両辺に$6yz$を乗じて整理すると$$2yz-2y-3z$$ $$\therefore (2y-3)(z-1)=3$$となる。$z-1\geqq 0$より、$(2y-3,z-1)=(1,3)$、$(3,1)$となるから、それぞれから $(y,z)=(2,4)$、$(3,2)$ を得る。

（答）$(y,z)=(2,4)$、$(3,2)$

（２）

$y$、$z$ は正なので①式より、

$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2y}}+{\displaystyle \frac{1}{3z}}\\ & \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdots \cdots \mathrm{②}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{6}}\end{array}$$

となるから $${\displaystyle \frac{1}{x}}\geqq {\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ $$\therefore x\leqq 2$$

よって$x$の取り得る値は $x=1$、$2$ である。

（答）$x=1$、$2$

（３）

$x=2$ のとき①式は$${\displaystyle \frac{1}{2y}}+{\displaystyle \frac{1}{3z}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$$となる。

このとき（２）の②式で等号が成立するから $(y,z)=(1,1)$ を得る。

これと（１）の結果を合わせると方程式①の解は

$(x,y,z)=(1,2,4)$、$(1,3,2)$、$(2,1,1)$

となる。

（答）$(x,y,z)=(1,2,4)$、$(1,3,2)$、$(2,1,1)$

 

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《コメント》

誘導設問があるので取り組みやすいですが、「大きい項から考える」という鉄則を忘れなければ誘導が無くても解けます。本問の方程式①の中で最も絞り込みに適した項は${\displaystyle \frac{1}{x}}$です。「大きい」というのは変数を動かしたときにラフな動き方をするというイメージです。どういうことかと言うと、${\displaystyle \frac{1}{x}}$は$1$、${\displaystyle \frac{1}{2}}$、${\displaystyle \frac{1}{3}}$、$\cdots$という値の取り方をするのに対して、${\displaystyle \frac{1}{2y}}$は${\displaystyle \frac{1}{2}}$、${\displaystyle \frac{1}{4}}$、${\displaystyle \frac{1}{6}}$、$\cdots$と動くので、${\displaystyle \frac{1}{x}}$は${\displaystyle \frac{1}{2y}}$よりもラフに変動すると言えます。

（出典：早稲田大(政経)2005年第2問）

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