問題#C018 ★★★☆
$m$ は負でない整数とする。3次方程式 $x^3-3m^2x+18m=0$ がただ一つの整数解を持ち、それ以外に実数解を持たないような $m$ をすべて求めよ。
《ポイント》
3次方程式の問題では解の公式が使えません（普通は）。そのため
①増減を調べる
②解と係数の関係を使う
③その他（因数分解、分数式にする･･･など）
という解法パターンが考えられます。本問のように虚数解を相手にするときはまず「①増減を調べる」の方針で$m$を絞り込むことを考えましょう。いきなり解と係数の関係に飛びつくと、3文字を一遍に扱わなければならず、上手く文字を消去できないと計算が泥沼化してしまいます。こういうときには一旦引き返す勇気も大切です。
《解答例》
3次方程式 $x^3-3m^2x+18m=0$ の左辺を$f(x)$と置くと、$$f'(x)=3(x+m)(x-m)$$となる。$m=0$ のとき $f(x)=0$ はただ一つの整数解 $x=0$ を持つので、以下、$m>0$ として考える。このとき増減表は以下のようになる。
| $x$ | $\cdots$ | $-m$ | $\cdots$ | $m$ | $\cdots$ |
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $y$ | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ |
極大値について、$f(-m)=2m(m^2+9) >0$ より、方程式 $f(x)=0$ がただ一つの整数解を持つためには極小値が$0$より大きくなければならない。故に$$f(m)=-2m(m-3)(m+3)>0$$ $$\therefore 0<m<3$$が必要である。よって $m=1、2$ に限られる。
$m=1$ のとき、$$\begin{align}f(x)&=x^3-3x+18 \\ &=(x+3)(x^2-3x+6) \end{align}$$となり、方程式 $f(x)=0$ はただ一つの整数解 $x=-3$ を持つ。
$m=2$ のとき、$$f(x)=x^3-12x+36$$ となるので方程式 $f(x)=0$ は整数解を持たない。
以上より、求める非負整数$m$は$$m=0、1$$である。
（答）$m=0、1$
《コメント》
$m=0$ のときを忘れないようにしましょう。また「負でない」という条件を取り払えば $m=-1$ も題意を満たします。
（出典：大阪大1991年文系第3問）