培風館『入門微分積分』第2章・問題2.3.7の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題2.3.7
（１）$f(x)=x^n e^{-x}$、$L_n(x)=e^x f^{(n)}(x)$と置くとき、次の式を示せ。$$xf'(x)=(n-x)f(x)$$
（２）（１）の両辺を$n+1$回微分することにより、次の式を示せ。$$x{L_n}^{\prime\prime} (x)+(1-x) {L_n}’ (x)+nL_n (x)=0$$
解法の要点
$L_n(x)$には「ラゲールの多項式」という名前が付いており、（２）は「ラゲールの微分方程式」が成立することを証明させる問題です。ラゲールの多項式や第３章で扱うガンマ函数などはまとめて「特殊関数」などと呼ばれ、その多くは数学だけでなく物理学など他の分野にも応用されています。
因みに、ラゲールの多項式（一般には「ラゲールの陪多項式」と呼ばれる）は量子力学の分野において、水素類似球状原子の動径波動関数を記述する際に利用されます。
解答例
（１）
$f(x)=x^n e^{-x}$ より、
$$f'(x)=nx^{n-1} e^{-x}-x^n e^{-x}=(n-x) x^{n-1} e^{-x}$$
よって両辺に$x$を乗じて$$xf'(x)=(n-x) x^n e^{-x}$$
を得る。
（２）
$L_n (x)=e^x f^{(n)} (x)$
${L_n}’ (x)=e^x f^{(n)} (x)+e^x f^{(n+1)} (x)=L_n (x)+e^x f^{(n+1)} (x)$、
$\begin{align}{L_n}^{\prime\prime}(x) &={L_n}'(x)+e^x f^{(n+1)} (x)+e^x f^{(n+2)} (x) \\ &={L_n}'(x)+{{L_n}'(x)-L_n (x)}+e^x f^{(n+2)}(x) \end{align}$
より、
$f^{(n)} (x)=e^{-x} L_n (x)$
$f^{(n+1)} (x)=e^{-x} {{L_n}'(x)-L_n (x)}$
$f^{(n+2)}(x)=e^{-x} {{L_n}^{\prime\prime}(x)-2{L_n}'(x)+L_n (x)}$
である。また（１）より、$$xf^{(1)} (x)=(n-x) x^n e^{-x} \ \cdots \cdots (\ast)$$が成立している。$xf^{(1)} (x)$を$n+1$回微分すると、ライプニッツの定理より$$xf^{(n+2)}(x)+(n+1) f^{(n+1)} (x)$$となる。
$(n-x) x^n e^{-x}=(n-x)f(x)$を$n+1$回微分すると、ライプニッツの定理より$$(n-x) f^{(n+1)} (x)-(n+1) f^{(n)} (x)$$となる。
$(\ast)$より、$$\begin{align} xf^{(n+2)}(x)+&(n+1) f^{(n+1)} (x) \\ &=(n-x) f^{(n+1)} (x)-(n+1) f^{(n)} (x) \end{align}$$ $$\therefore xf^{(n+2) } (x)+(1+x) f^{(n+1)} (x)+(n+1) f^{n} (x)=0$$となる。$f$に各式を代入して、
$$\begin{align} & xe^{-x} \{ {L_n}^{\prime\prime}(x)-2{L_n}'(x)+L_n (x) \} \\ &+(1+x) e^{-x} \{ {L_n}'(x)-L_n (x)\}+(n+1) e^{-x} L_n (x)=0 \end{align}$$この両辺に$e^x$を乗じてさらに整理すると$$x{L_n}^{\prime\prime} (x)+(1-x) {L_n}’ (x)+nL_n (x)=0$$を得る。よって示された。
この問題に