創作整数問題gallery #1~25
ここでは今までに作問してきた「創作整数問題」を展覧しています。解答例や考え方はブログの方で紹介しており、問題番号をクリックorタップすると解答例が閲覧できます。
$N=\underbrace{999 \cdots 999}_{2017個} $とする。$N$を$88$で割ったときの余りを求めよ。
数列$\{ a_n \}$を$a_n=4^n+n^4 \ (n=1,2,\cdots)$と定めるとき、$a_{2017}$の下一桁の数を求めよ。
$n!+10$ が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ。
$2^n+n$ と $4^n+n$ はともに$3$で割り切れないが、その和は$3$で割り切れるような自然数$n$をすべて求めよ。
$\dfrac{2^p+1}{p}$ が整数となるような素数 $p$ をすべて求めよ。
$a$、$b$、$c$を互いに異なる正の整数とする。$10$進法で表された$3$桁の整数 $N=\overline{abc}_{(10)}$について $a$、$b$、$c$ はこの順に等比数列を成すという。以下の問いに答えよ。
（１）$5$進法で表すと3桁の整数 $\overline{ccc}_{(5)}$となるような$N$を$10$進法で求めよ。
（２）$a$進法で表すと5桁の整数 $\overline{cbbcc}_{(a)}$となるような$N$を$10$進法で求めよ。
ある地域では$10$進法が用いられておらず、$2000$円をその地域に持っていくとちょうど税込$1313$円の品物が$4$個買えるという。さて、この地域では何進法が用いられているか。
$n^3$ が $2n+7$ の倍数となるような正の整数$n$をすべて求めよ。
正の整数 $m$、$n$ は互いに素であるとする。$$\dfrac{m^2+n^2}{m+2n}$$が整数となるような組$(m,n)$をすべて求めよ。
$\dfrac{n^2-1}{4}$ が正の完全平方数となるような正の整数 $n$ は存在しないことを示せ。
正の整数$a$、$b$は方程式$$3^a=2^b+1 \tag*{･･････①}$$を満たす。
（１）$b$は奇数であることを示せ。また $b \geqq 3$ のとき$a$は偶数であることを示せ。
（２）方程式①を満たす正の整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
$N=7^a+5b+1$ が$8$の倍数となるような正の整数$a$、$b$の組は $1 \leqq a \leqq 8$、 $1 \leqq b \leqq 8$ の範囲に何組存在するか。
等式 $p + q = (p − q)^3$を満たす素数 $p$、$q$ の組をすべて求めよ。
等式 $p^2+q^2=r^2$ を満たす互いに素な自然数 $p$、$q$、$r$ の組が無数に存在することを示せ。
等式 $3p^2+4q^2=5r^2$ を満たす互いに素な自然数 $p$、$q$、$r$ の組は無数に存在するか。
$a_1=1$、$a_2=1$、$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} \ (n=1,2,3,\cdots)$ で定められる数列$\{a_n\}$が$12$の倍数となるような自然数$n$の条件を求めよ。
等式 $m^2+15=2^n$ を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ。
$2^{2017}$を$2017$で割ったときの余りを求めよ。
ある整数の$3$乗となる数を立方数という。$n^3+8n^2-n$ が立方数となるような整数$n$をすべて求めよ。
数字根とは、ある自然数$N$の各位の和$S_1$を求め、さらに$S_1$の各位の和$S_2$を求める、･･･という操作を繰り返し行い、最終的に得られる$1$桁の数のことを指す。例えば、$3^{10}=59049$の数字根は$9$であるが、これは$5+9+0+4+9= 27 \to 2 + 7 = 9$のように計算される。
$n$を自然数とするとき、$2^n$の数字根として得られる値をすべて求めよ。
$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表すとする。
$\alpha=4+\sqrt{13}$とし、数列$\{a_{n}\}$を$$a_n=[{\alpha}^{n}]+[{\alpha}^{n+1}]$$によって定める。このとき数列$\{a_{n}\}$のすべての項はある正の整数$d$の倍数になっているという。$d$の最大値を求めよ。
等式 $3^x+9^y=12^z$ を満たす正の整数$x$、$y$、$z$の組をすべて求めよ。
既約分数$F$は分子と分母の和が$1000$であり、小数に直して小数第$3$位を四捨五入すると$0.35$になるという。このような$F$をすべて求めよ。
$2^6+2^9+2^n$ が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ。
有理数 $p$ を用いて $\dfrac{p^2+1}{p(p-1)}$ と表せる整数をすべて求めよ。