雑題ログ：チェビシェフ多項式の問題

チェビシェフ多項式の問題

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長崎大学(1986年/前期(医/歯/薬/教育)第3問)

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鹿児島大学(1987年/前期(理(数除く)/工/医)第2問)

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東京大学(1990年/前期理系第2問)

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東京工業大学(1990年/後期第2問)

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東京大学(1991年/前期理系第4問)

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筑波大学(1993年/文理共通第2問)

$n$を自然数とするとき、$\sin (2n-1)x$は$\sin x$の多項式で表され、$\cos (2n-1)x$は$\cos x$の多項式で表されることを証明せよ。

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東北大学(1994年/前期理系(理/工)第6問)

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京都大学(1996年/後期理系第1問)

$n$は自然数とする。

（１）すべての実数$\theta$に対し$$\cos n\theta =f_n(\cos \theta ),\sin n\theta =g_n(\cos \theta )\sin \theta$$を満たし、係数がともにすべて整数である$n$次式$f_n(x)$と $n-1$ 次式$g_n(x)$が存在することを示せ。

（２）${f_n}^{\prime }(x)=n{g}_n(x)$ であることを示せ。

（３）$p$を$3$以上の素数とするとき、$f_p(x)$の $p-1$ 次以下の係数はすべて$p$で割り切れることを示せ。

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京都大学(1996年/後期文系第1問)

（１）$\cos 5\theta =f(\cos \theta )$ を満たす多項式$f(x)$を求めよ。

（２）$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{10}}\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{10}}\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{10}}\cos {\displaystyle \frac{9\pi }{10}}={\displaystyle \frac{5}{16}}$

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大阪大学(1998年/後期理系第2問)

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千葉大学(1999年/前期理系第4問)

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筑波大学(2000年/後期理系第3問)

$x$の関数$f_n(x)(n=0,1,2,\cdots )$ を次で定める。$$\{\begin{array}{l}{f}_0(x)=1,f_1(x)=x\\ f_n(x)=x{f}_{n-1}(x)-f_{n-2}(x)(n\geqq 2)\end{array}$$このとき、$f_n(2\cos \theta )={\displaystyle \frac{\sin (n+1)\theta }{\sin \theta }}$ と表せることを示せ。ただし、$\sin \theta \ne 0$ とする。

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京都大学(2000年/後期文系第1問/理系第5問)（複素数を極形式で表すとチェビシェフ多項式の関係式が現れる）（※共通問題ではない）

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金沢大学(2001年/後期理系(数)第4問)（$\cos$の3倍角）

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学習院大学(2001年/(法/政治)第3問)

自然数$n$に対して$$f_n(\theta )={\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }}$$とおく。ただし、$\sin \theta \ne 0$ とする。$n\geqq 2$ に対して次の問に答えよ。

（１）$f_n(\theta )=0$ のとき、$f_{n+1}(\theta )f_{n-1}(\theta )$ を求めよ。

（２）$f_n(\theta {)}^2=0$ のとき、$f_{n+1}(\theta )f_{n-1}(\theta )$ を求めよ。

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九州大学(2002年/文系第4問)

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東京医科歯科大学(2004年/理系第1問)

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東京都立大学(2004年/(理/工)第1問)

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東京大学(2004年/文科第3問/理科第4問)

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名古屋大学(2004年/理科系第3問)

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岩手大学(2007年/(教育)第？問)

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埼玉大学(2008年/(理(数学))第1問)

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慶應義塾大学(2008年/(医)第4問)

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東京慈恵会医科大学(2008年/(医)第2問)

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千葉大学(2015年/前期理系(理/工/薬/先進)第4問)

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北海道大学(2015年/後期第2問)

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名古屋工業大学(2015年/後期第4問)

自然数$n$に対し、$x$の$n$次式で表された関数$f_n(x)$を$$f_n(\cos \theta )={\displaystyle \frac{\sin (n+1)\theta }{\sin \theta }}(0<\theta <\pi )$$を満たすように定める。例えば

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ であるから $f_1(x)=2x$

$\sin 3\theta =\sin \theta (4{\cos }^2\theta -1)$ であるから $f_2(x)=4x^2-1$

となる。

（１）３次式$f_3(x)$を求めよ。

（２）定積分 $I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}{f}_3(x)\sqrt{1-x^2}dx}$ を求めよ。

（３）$k$が自然数のとき、$f_{2k+1}(0)=0$ であることを証明せよ。

（４）$k$が自然数のとき、整式$f_{2k+1}(x)$は整式$f_k(2x^2-1)$で割り切れることを証明せよ。

（５）５次方程式 $f_5(x)=0$ を解け。

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埼玉大学(2017年/前期(理/工)第1問)

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早稲田大学(2017年/(商)第3問)

$n$を正の整数とする。次の条件（＊）を満たす$x$についての$n$次式 $P_n(x)$ を考える。

（＊）すべての実数$\theta$に対して、$\cos n\theta =P_n(\cos \theta )$

次の設問に答えよ。

（１）$n\geqq 2$ のとき、$P_{n+1}(x)$ を $P_n(x)$ と$P_{n-1}(x)$ を用いて表せ。

（２） $P_n(x)$ の$x^n$の係数を求めよ。

（３）$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{10}}$ とする。${10}^{1000}{\cos }^2(500\theta )$ を$10$進法で表したときの、一の位の数字を求めよ。

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お茶の水女子大学(2017年/後期(理)第2問)

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群馬大学(2018年/(医)第3問)

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【チェビシェフの不等式に関する問題】

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東京大学(1987年/理系第5問)
※1975年第17回IMOブルガリア大会第1問と同一題。
※1977年ドイツ選手団選抜テスト第1問と同一題。

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お茶の水女子大学(2000年/後期理系第？問)

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（コメント）

チェビシェフの多項式はとても奥が深く、多くの大学で入試問題の題材として取り上げられています。

$\cos n\theta$ を $\cos \theta$ だけの多項式で表したものを「第一種チェビシェフ多項式」と言い、しばしば$T_n(\cos \theta )$と表されます。

第一種があるということは第二種もあるのでは？とお気付きの方もいると思いますが、実はチェビシェフの多項式にはもう一つのタイプがあって、${\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }}$ を $\cos \theta$ だけの多項式で表したものを「第二種チェビシェフ多項式」と言い、しばしば$U_n(\cos \theta )$と表されます。

添え字の小さいものから列挙すると、$$\begin{array}{rl}{T}_0(x)& =1\\ T_1(x)& =x\\ T_2(x)& =2x^2-1\\ T_3(x)& =4x^3-3x\\ & ⋮\end{array}$$となり、$$\begin{array}{rl}{U}_0(x)& =1\\ U_1(x)& =2x\\ U_2(x)& =4x^2-1\\ U_3(x)& =8x^3-4x\\ & ⋮\end{array}$$となります。

なお、チェビシェフの不等式というのは、単調減少する数列$\{x_n\}$、$\{y_n\}$において、それぞれの$n$項目までの項について成り立つ、以下の不等関係のことを指します。$${\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\geqq \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{y}_i\right)\geqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_{n+1-i}}$$これを言葉で説明するなら、２つの数列について、

「大小順の積の平均」≧「各数列の平均の積」≧「大小逆順の積の平均」

が成り立つこと、となります。日本語に直せば少しは、なるほど確かに、と思ってもらえるのではないでしょうか。

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