二項係数の問題
奈良女子大学(1998年/後期(数/情報科学)第1問)
（１）素数$p$と $1 \leqq r \leqq p-1$ なる整数$r$に対して、二項係数についての等式$${r \ }_{p}\mathrm{C}_{r}={p \ }_{p-1}\mathrm{C}_{r-1}$$を証明し、${}_{p}\mathrm{C}_{r}$は$p$の倍数であることを示せ。
（２）素数$p$に対して$2^p$を$p$で割った余りを求めよ。
東京大学(1999年/前期理系第5問)
近畿大学(2002年/(理工)第2問)
神戸大学(2008年/理系第5問)
東京大学(2009年/前期文科第2問/前期理科第1問)
大阪医科大学(2009年/前期第4問)
（１）$p$を素数、$k$を $1 \leqq k \leqq p-1$ である自然数とするとき、二項係数${}_{p}\mathrm{C}_{k}$は$p$で割り切れることを証明せよ。
（２）$p$は素数で、$p>2$ とする。自然数$m$、$n$に対して、$A=(m+n)^p-m^p-n^p$ は$2p$で割り切れることを証明せよ。
奈良県立医科大学(2012年/前期第4問)
熊本大学(2013年/(人文)第1問)
奈良県立医科大学(2013年/後期第4問)
東京大学(2015年/前期理科第5問)
$m$を$2015$以下の正の整数とする。${}_{2015}\mathrm{C}_m$が偶数となる最小の$m$を求めよ。
「2015Cmが偶数になる最小のm（東京大学2015年前期理系数学第5問）」
金沢大学(2017年/前期文系第2問)
次の問いに答えよ。ただし、${}_m \mathrm{C}_k$は$m$個から$k$個取る組合せの総数を表す。
（１）$k=1,2,3,4,5,6$ に対して、${}_7 \mathrm{C}_k$は$7$の倍数であることを示せ。
（２）$p$は素数とし、$k$は $1 \leqq k \leqq p-1$ を満たす自然数とする。${}_p \mathrm{C}_k$は$p$の倍数であることを示せ。
（３）すべての自然数$n$に対して、$n^7-n$ は$7$の倍数であることを示せ。
名古屋大学(2018年/前期理系第3問)
$p$ を素数、$a$、$b$ を整数とする。このとき、次の問に答えよ。
（１）$(a+b)^p-a^p-b^p$ は $p$ で割り切れることを示せ。
（２）$(a+2)^p-a^p$ は偶数であることを示せ。
（３）$(a+2)^p-a^p$ を $2p$ で割ったときの余りを求めよ。
静岡大学(2020年/後期理系(数)第5問)
大阪教育大学(2020年/後期理系第2問)
$n$ を自然数、$p$ を素数とする。次の問に答えよ。
（１）$r=1,2, \cdots, p-1$ に討し、${}_{p}\mathrm{C}_{r}$ は $p$ の倍数であることを証明せよ。ただし、${}_{p}\mathrm{C}_{r}$ は異なる $p$ 個のものから $r$ 個とる組合せの総数とする。
（２）$(n+1)^{p}-\left(n^{p}+1\right)$ は $p$ の倍数であることを証明せよ。
（３）$n^{p}-n$ は $p$ の倍数であることを証明せよ。
（４）$n^{p-1}$ を $p$ で割った余りを求めよ。
東京大学(2021年/前期共通第4問)
以下の問いに答えよ。
（１）正の奇数$K$、$L$と正の整数$A$、$B$が $KA=LB$ を満たしているとする。$K$を$4$で割った余りが$L$を$4$で割った余りと等しいならば、$A$を$4$で割った余りは$B$を$4$で割った余りと等しいことを示せ。
（２）正の整数$a$、$b$が $a>b$ を満たしているとする。このとき、$A={ }_{4 a+1} \mathrm{C}_{4 b+1}$、$B={ }_{a} \mathrm{C}_{b}$に対して $KA=LB$ となるような正の奇数$K$、$L$が存在することを示せ。
（３）$a$、$b$は（２）の通りとし、さらに $a-b$ が$2$で割り切れるとする。${ }_{4 a+1} \mathrm{C}_{4 b+1}$を$4$で割った余りは${ }_{a} \mathrm{C}_{b}$を$4$で割った余りと等しいことを示せ。
（４）${ }_{2021} \mathrm{C}_{37}$を$4$で割った余りを求めよ。
東京工業大学(2021年/前期第3問)
以下の問いに答えよ。
（１）正の整数$n$に対して、二項係数に関する次の等式を示せ。$$n\,{}_{2 n} \mathrm{C}_{n}=(n+1)\,{}_{2 n} \mathrm{C}_{n-1}$$また、これを用いて${}_{2 n} \mathrm{C}_{n}$は $n+1$ の倍数であることを示せ。
（２）正の整数$n$に対して、$$a_{n}=\dfrac{{}_{2 n} \mathrm{C}_{n}}{n+1}$$とおく。このとき、$n \geqq 4$ ならば $a_n>n+2$ であることを示せ。
（３）$a_n$が素数となる正の整数$n$をすべて求めよ。
九州大学(2021年/前期理系第5問)
以下の問いに答えよ。
（１）自然数$n$、$k$が $2 \leqq k \leqq n-2$ をみたすとき、${ }_{n} \mathrm{C}_{k}>n$ であることを示せ。
（２）$p$を素数とする。$k \leqq n$ をみたす自然数の組$(n,k)$で ${ }_{n} \mathrm{C}_{k}=p$ となるものをすべて求めよ。