問題7.2.3d
次の線形微分方程式の一般解を求めよ。
（７）$y”’-5y”+2y’+8y=16x$
（８）$y”’-y=e^{2x}$
《ポイント》
線形微分方程式$$F(D)y=q(x)$$の一般解は、斉次微分方程式$$F(D)y=0$$の一般解と$$F(D)y=q(x)$$の特殊解の和で与えられます。一般解 → 特殊解 の流れで解きます。
《解答例》
（７）$y”’-5y”+2y’+8y=16x$
$$y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+8 y=16 x$$ $$\therefore \left(D^{3}-5 D^{2}+2 D+8\right) y=16 x$$ $$\therefore (D+1)(D-2)(D-4) y=16 x$$ であるから一般解は$$c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{2 x}+c_{3} e^{4 x}$$となる。特殊解は$$\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ \frac{1}{D^{3}-5 D^{2}+2 D+8} 16 x \\
&=\frac{1}{8} \frac{1}{1+D / 4-\left(5 D^{2}\right) / 8+D^{3} / 8} 16 x \\
&=\frac{1}{8}\left\{1-\left(D / 4-\left(5 D^{2}\right) / 8+D^{3} / 8\right)\right\} 16 x \\
&=\frac{1}{8}(16 x-4) \\
&=2 x-\frac{1}{2}
\end{aligned}$$となるから、求める一般解は$$y=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{2 x}+c_{3} e^{4 x}+2 x-\frac{1}{2}\quad \cdots (\text{答})$$である。ただし、$c_{1}$、$c_{2}$、$c_{3}$ $\in \mathbb{R}$ である。
（８）$y”’-y=e^{2x}$
$$y^{\prime \prime \prime}-y=e^{2x}$$ $$\therefore \left(D^{3}-1\right) y=e^{2x}$$ $$\therefore (D-1)(D^2+D+1)y=e^{2x}$$ であるから一般解は$$c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x / 2} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{3} e^{-x / 2} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)$$となる。特殊解は$$\frac{1}{D^{3}-1} e^{2x}=\frac{1}{7} e^{2x}$$となるから、求める一般解は$$y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x / 2} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{3} e^{-x / 2} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) + \frac{1}{7} e^{2x} \quad \cdots (\text{答})$$である。ただし、$c_{1}$、$c_{2}$、$c_{3}$ $\in \mathbb{R}$ である。
復習例題は設定していません。