問題7.2.3c
次の線形微分方程式の一般解を求めよ。
（５）$(D^2-2D-3)y=e^{-x}+x$
（６）$y”-2y’+y=e^x$
《ポイント》
線形微分方程式$$F(D)y=q(x)$$の一般解は、斉次微分方程式$$F(D)y=0$$の一般解と$$F(D)y=q(x)$$の特殊解の和で与えられます。一般解 → 特殊解 の流れで解きます。
《解答例》
（５）$(D^2-2D-3)y=e^{-x}+x$
$$\left(D^{2}-2 D-3\right) y=(D+1)(D-3) y=0$$の一般解は$$y=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{3 x}$$である。次に特殊解を求める。$$\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ \frac{1}{(D-3)(D+1)} e^{-x} \\
&=\frac{1}{D+1} \frac{1}{D-3} e^{-x} \\
&=-\frac{1}{4} \frac{1}{D+1} e^{-x} \\
&=-\frac{1}{4} e^{-x} \int d x \\
&=-\frac{1}{4} x e^{-x}
\end{aligned}$$および、$$\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ \frac{1}{(D-3)(D+1)} x \\
&=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{D-3}-\frac{1}{D+1}\right) x \\
&=\frac{1}{4}\left\{-\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{3} D\right)-(1-D)\right\}x\\
&=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3} x-\frac{1}{9}-x+1\right) \\
&=-\frac{1}{3} x+\frac{2}{9}
\end{aligned}$$の和であるから、求める一般解は$$y=c_{1} e^{3 x}+c_{2} e^{-x}-\frac{1}{4} x e^{-x}-\frac{1}{3} x+\frac{2}{9}\quad \cdots (\text{答})$$である。ただし、$c_{1}$、$c_{2}$ $\in \mathbb{R}$ である。
（６）$y”-2y’+y=e^x$
$$y^{\prime \prime}-2 y+y=0$$すなわち$$(D-1)^{2} y=0$$の一般解は$$y=c_{1} e^{x}+c_{2} xe^{x}$$である。特殊解は$$\begin{aligned}
\frac{1}{(D-1)^{2}} e^{x} &=e^{x} \frac{1}{D^{2}} \cdot 1 \\
&=\frac{1}{2} x^{2} e^{x}
\end{aligned}$$であるから、求める一般解は$$y=\frac{1}{2} x^{2} e^{x}+c_{1} e^{x}+c_{2} x e^{x}\quad \cdots (\text{答})$$である。ただし、$c_{1}$、$c_{2}$ $\in \mathbb{R}$ である。
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