問題3.3.1b
次の行列式の値を求めよ。
（５）$\left|\begin{array}{cccc}
3 & 1 & 3 & 5 \\
6 & 2 & 2 & 6 \\
-3 & 1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1 & 6
\end{array}\right|$
（６）$\left|\begin{array}{cccc}
-1 & -4 & 3 & 4 \\
1 & 2 & -3 & -2 \\
7 & 9 & 4 & 2 \\
-9 & 7 & -3 & 6
\end{array}\right|$
（７）$\left|\begin{array}{ccccc}
3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\
0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -6 \\
\end{array}\right|$
（８）$\left|\begin{array}{lllll}
3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 3 \\
3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\
2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 5 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right|$
解法の要点
行列式の値はサラスの方法で求めても良いのですが、計算が煩雑です。簡約化して上三角行列に整理することで行列式を計算しやすくする工夫をしましょう。ブロック行列に分割できる場合はさらに計算を省略できます。
詳しくは「零行列を含むブロック行列の行列式を簡単に求める方法」の記事も参考にして下さい。
解答例
（５）
$$\begin{aligned}
& \quad \,\, \left|\begin{array}{cccc}
3 & 1 & 3 & 5 \\
6 & 2 & 2 & 6 \\
-3 & 1 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 1 & 6
\end{array}\right| \\
&=6\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 3 & 5 \\
1 & 1 & 1 & 3 \\
-1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 6
\end{array}\right| \\
&=6\left|\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 3 & 5 \\
0 & 1 & 1 & 3 \\
-2 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 6
\end{array}\right| \\
& \quad \quad \quad (\text{第1列}+\text{第2列} \times (-1)) \\
&=-6\left|\begin{array}{cccc}
-2 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 & 5 \\
0 & 1 & 1 & 6
\end{array}\right| \\
&=12\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3 \\
1 & 3 & 5 \\
1 & 1 & 6
\end{array}\right| \\
&=12\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right| \begin{array}{l}
\\
②+① \times (-1) \\
③+② \times (-1)
\end{array} \\
&=72 \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$
（６）
$$\begin{aligned}
& \quad \,\, \left|\begin{array}{cccc}
-1 & -4 & 3 & 4 \\
1 & 2 & -3 & -2 \\
7 & 9 & 4 & 2 \\
-9 & 7 & -3 & 6
\end{array}\right| \\
&=\left|\begin{array}{cccc}
-1 & -4 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
7 & 9 & 25 & 11 \\
-9 & 7 & -30 & 13
\end{array}\right| \\
& \quad \quad (\text{第3列}+\text{第2列},\text{第4列}+\text{第2列}) \\
&=2\left|\begin{array}{cc}
-1 & -2 \\
1 & 1
\end{array}\right|5\left|\begin{array}{cc}
5 & 11 \\
-6 & 13
\end{array}\right| \\
&=10 \cdot 1 \cdot 131 \\
&=1310
\end{aligned}$$
（７）
$$\begin{aligned}
& \quad \,\, \left|\begin{array}{ccccc}
3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\
0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -6 \\
\end{array}\right| \\
&=-6\left|\begin{array}{cc}
3 & 5 \\
2 & 6
\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}
7 & 1 \\
3 & 2
\end{array}\right| \\
&= -6 \cdot 8 \cdot 11 \\
&=-528 \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$
（８）
$$\begin{aligned}
& \quad \,\, \left|\begin{array}{lllll}
3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 3 \\
3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\
2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 5 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right| \\
&=\left|\begin{array}{lllll}
2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 5 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\
3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\
2 & 6 & 0 & 9 & 3
\end{array}\right| \\
&=\left|\begin{array}{cc}
2 & 7 \\
1 & 5
\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}
7 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 9 & 3
\end{array}\right| \\
&=3 \cdot 3\left|\begin{array}{ccc}
0 & -13 & -5 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{array}\right| \begin{array}{l}
①+② \times (-7) \\
\text{ } \\
\text{ }
\end{array} \\
&=-9\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
0 & -13 & -5 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{array}\right| \\
&=-9\left|\begin{array}{cc}
-13 & -5 \\
3 & 1
\end{array}\right| \\
&=-9 \cdot 2 \\
&=-18 \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$