創作整数問題gallery

創作整数問題gallery

戻る


ここでは今までに作問してきた「マイ整数問題」を展覧しています。解答例や考え方はブログの方で紹介しており、問題番号をクリックorタップすると解答例が閲覧できます。


《問題#1》

$N=\underbrace{999 \cdots 999}_{2017個} $とする。$N$を$88$で割ったときの余りを求めよ。


《問題#2》

数列$\{ a_n \}$を$a_n=4^n+n^4 \ (n=1,2,\cdots)$と定めるとき、$a_{2017}$の下一桁の数を求めよ。


《問題#3》

$n!+10$ が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ。


《問題#4》

$2^n+n$ と $4^n+n$ はともに$3$で割り切れないが、その和は$3$で割り切れるような自然数$n$をすべて求めよ。


《問題#5》

$\dfrac{2^p+1}{p}$ が整数となるような素数 $p$ をすべて求めよ。


《問題#6》

$a$、$b$、$c$を互いに異なる正の整数とする。$10$進法で表された$3$桁の整数 $N=\overline{abc}_{(10)}$について $a$、$b$、$c$ はこの順に等比数列を成すという。以下の問いに答えよ。

(1)$5$進法で表すと3桁の整数 $\overline{ccc}_{(5)}$となるような$N$を$10$進法で求めよ。

(2)$a$進法で表すと5桁の整数 $\overline{cbbcc}_{(a)}$となるような$N$を$10$進法で求めよ。


《問題#7》

ある地域では$10$進法が用いられておらず、$2000$円をその地域に持っていくとちょうど税込$1313$円の品物が$4$個買えるという。さて、この地域では何進法が用いられているか。


《問題#8》

$n^3$ が $2n+7$ の倍数となるような正の整数$n$をすべて求めよ。


《問題#9》

正の整数 $m$、$n$ は互いに素であるとする。$$\dfrac{m^2+n^2}{m+2n}$$が整数となるような組$(m,n)$をすべて求めよ。


《問題#10》

$\dfrac{n^2-1}{4}$ が正の完全平方数となるような正の整数 $n$ は存在しないことを示せ。


《問題#11》

正の整数$a$、$b$は方程式$$3^a=2^b+1 \tag*{・・・・・・①}$$を満たす。

(1)$b$は奇数であることを示せ。また $b \geqq 3$ のとき$a$は偶数であることを示せ。

(2)方程式①を満たす正の整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。


《問題#12》

$N=7^a+5b+1$ が$8$の倍数となるような正の整数$a$、$b$の組は $1 \leqq a \leqq 8$、 $1 \leqq b \leqq 8$ の範囲に何組存在するか。


《問題#13》

等式 $p + q = (p − q)^3$を満たす素数 $p$、$q$ の組をすべて求めよ。


《問題#14》

等式 $p^2+q^2=r^2$ を満たす互いに素な自然数 $p$、$q$、$r$ の組が無数に存在することを示せ。


《問題#15》

等式 $3p^2+4q^2=5r^2$ を満たす互いに素な自然数 $p$、$q$、$r$ の組は無数に存在するか。


《問題#16》

$a_1=1$、$a_2=1$、$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} \ (n=1,2,3,\cdots)$ で定められる数列$\{a_n\}$が$12$の倍数となるような自然数$n$の条件を求めよ。


《問題#17》

等式 $m^2+15=2^n$ を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ。


《問題#18》

$2^{2017}$を$2017$で割ったときの余りを求めよ。


《問題#19》

ある整数の$3$乗となる数を立方数という。$n^3+8n^2-n$ が立方数となるような整数$n$をすべて求めよ。


《問題#20》

数字根とは、ある自然数$N$の各位の和$S_1$を求め、さらに$S_1$の各位の和$S_2$を求める、・・・という操作を繰り返し行い、最終的に得られる$1$桁の数のことを指す。例えば、$3^{10}=59049$の数字根は$9$であるが、これは$5+9+0+4+9= 27 \to 2 + 7 = 9$のように計算される。

$n$を自然数とするとき、$2^n$の数字根として得られる値をすべて求めよ。


《問題#21》

$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表すとする。

$\alpha=4+\sqrt{13}$とし、数列$\{a_{n}\}$を$$a_n=[{\alpha}^{n}]+[{\alpha}^{n+1}]$$によって定める。このとき数列$\{a_{n}\}$のすべての項はある正の整数$d$の倍数になっているという。$d$の最大値を求めよ。


《問題#22》

等式 $3^x+9^y=12^z$ を満たす正の整数$x$、$y$、$z$の組をすべて求めよ。


《問題#23》

既約分数$F$は分子と分母の和が$1000$であり、小数に直して小数第$3$位を四捨五入すると$0.35$になるという。このような$F$をすべて求めよ。


《問題#24》

$2^6+2^9+2^n$ が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ。


《問題#25》

有理数 $p$ を用いて $\dfrac{p^2+1}{p(p-1)}$ と表せる整数をすべて求めよ。


《問題#26》

$n$を$2$以上の整数とする。$\sqrt{{}_{n}\mathrm{C}^{\ }_{2}\ }$ が整数となるような$n$を$5$つ求めよ。


《問題#27》

等式$$x^3+y^3-3xy=0$$を満たすような整数$x$、$y$の組をすべて求めよ。


《問題#28》

等式$$m^2+4^n=n!$$を満たすような非負整数$m$、$n$の組をすべて求めよ。


《問題#29》

ある自然数は、$2$乗した値を$29$で割った余りと、$4$倍して$1$を加えた値を$29$で割った余りが等しいという。このような自然数をすべて求めよ。


《問題#30》

$2015^{2016}+2016^{2015}$は素数か。


《問題#31》

十進法表記における$n^3$の各位の数の和が$n$に等しくなるような正の整数$n$のうち、$3$の倍数であるものをすべて求めよ。


《問題#32》

次の覆面算を解け。$$\begin{align}\ \ \ \text{八十八}_{\ } \\
\ \ \ \text{百二十}_{\ } \\
\underline{{+)}_{\ }\ \ \ \text{千八百十}_{\ }} \\
\ \ \ \text{二千十八}_{\ } \end{align}$$ただし、各文字には$0$~$9$までの異なる整数が入るものとし、同じ文字には同じ数字が入り、異なる文字に同じ数字は入らない。また、最上位の文字に$0$が入ることはない。


《問題#33》

自然数$n$に対して、$1$から$n$までの自然数で$n$と互いに素なものの個数を$\phi (n)$とする。例えば $\phi (2)=1$、$\phi (3)=2$、$\phi (8)=4$ である。このとき以下の問に答えよ。

(1)関数$\phi (n)$が乗法的であることを利用して、$\phi (1200)$の値を求めよ。ここで関数$\phi (n)$が乗法的であるとは、$\phi (1)=1$ であり、かつ、互いに素な自然数$m$、$n$について$$\phi (mn)=\phi (m) \phi (n)$$がつねに成り立つことをいう。

(2)$n \geqq 3$ のとき、$\phi (n)$は任意の自然数$n$に対して偶数値をとることを示せ。


《問題#34》

任意の正の整数$n$に対して、各位の数字が$1$または$2$のみからなる正の整数であり$2^n$で割り切れるものが存在することを示せ。


《問題#35》

$0$以上$1$以下の既約分数を以下の手順で並べる。

まず分母が$1$となるような既約分数を大小順に並べる。分母が$2$となるような既約分数を大小順に並ぶように列に加える。さらに分母が$3$となるような既約分数を大小順に並ぶように列に加える。・・・これを続けていき、最後に分母が自然数$n$となるような既約分数を大小順に並ぶように列に加える。この数列を$F_n$とする。ただし、$\dfrac{0}{1}$および$\dfrac{1}{1}$は既約分数とみなすものとする。

例えば、$F_1$は$$\dfrac{0}{1}\ \ \dfrac{1}{1}$$となり、$F_3$は$$\dfrac{0}{1}\ \ \dfrac{1}{3}\ \ \dfrac{1}{2}\ \ \dfrac{2}{3}\ \ \dfrac{1}{1}$$となる。数列$F_n$の項数を$f^{\sharp}_n$とするとき以下の問いに答えよ。

(1)$n \geqq 2$ のとき、$f^{\sharp}_n$は奇数であることを示せ。

(2)数列$F_n$の総和が$\dfrac{f^{\sharp}_n}{2}$であることを示せ。


《問題#36》

3次方程式$$2x^3-mx^2-(4m+1)x-12=0$$が整数解をもつような整数$m$をすべて求めよ。


《問題#37》

複素数 $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$ が整数値をとるとき、その整数値を求めよ。


《問題#38》

$2018^{90}+2018^{60}+2018^{30}+1$ は$5$で最大何回割り切れるか。


《問題#39》

整数$n$の方程式$$\left[\left[\left[\left[\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] =4$$を解け。ただし、$[x]$は実数$x$を超えない最大の整数を表すものとする。


《問題#40》

関数$$f(n)=\dfrac{13}{6}n^3-\dfrac{19}{2}n^2+\dfrac{55}{3}n-8$$が$40$の倍数となるような$2018$以下の正の整数$n$の個数を求めよ。


《問題#41》

整数$x$、$y$に対して、連立方程式$$\begin{cases}y = 3x^3 + 9x^2 + 9x + 2 \\ x = 3y^3 + 9y^2 + 9y + 2\end{cases}$$の解をすべて求めよ。


《問題#42》

自然数$k$、$n$を用いて $\sqrt{\smash[b]{n^k+1}}+\sqrt{\smash[b]{n^k-1}}$ と表せるような有理数は存在しないことを示せ。


《問題#43》

$A=2019^{2019}+1$ とするとき、$A^7+2$ と $A^2+2$ の最大公約数を求めよ。


《問題#44》

$\displaystyle \sum^{n}_{k=1}k^p=S_p(n)$ と表すとき、$\dfrac{S_5(n)}{S_3(n)}$が平方数となるような正の整数$n$は無数に存在することを示せ。ここで平方数とは、ある整数の二乗になる整数をいうものとする。


《問題#45》

(1)等式 $a^2+b^2+c^2=d^2$ を満たす素数$a$、$b$、$c$、$d$は存在しないことを示せ。

(2)等式 $a^2+b^2+c^2=2d^2$ を満たす素数$a$、$b$、$c$、$d$は存在しないことを示せ。


《問題#46》

ある整数$N$が整数$k$の倍数であるかどうかを簡便に判別する数学的な方法は「$k$の倍数判定法」と呼ばれる。例えば、$3$の倍数判定法として、「整数$N$の各位の数の総和が$3$の倍数ならば$N$は$3$の倍数である」というものが知られている。

以上のことを踏まえて$37$の倍数判定法を導いてみよう。

(1)$n$を正の整数とするとき、$1000^n$を$37$で割った余りを求めよ。

(2)(1)の結果を利用して$37$の倍数判定法を提案せよ。また、それを用いて $N=486652173126598$ が$37$の倍数かどうかを判定せよ。


《問題#47》

$\displaystyle \sum^{1111}_{k=1} {1111}^{k}$を$11111$で割ったときの余りを求めよ。


《問題#48》

$48$進法における$5^n$の下2桁が$01$となるような最小の自然数$n$を求めよ。


《問題#49》

$\displaystyle \sum^{n}_{k=1} \dfrac{1}{k}$ は$2$以上の任意の整数$n$に対して整数にならないことを示せ。


《問題#50》

方程式 $a^2 b=a^3+2b^2$ を満たす整数の組$(a,\,b)$をすべて求めよ。


《問題#51》

$2^{n}-1$ と $2^{2019}-1$ が互いに素となるような$2019$未満の自然数$n$はいくつ存在するか。


《問題#52》

方程式 $a^2 b=a^3+3b^5$ を満たす整数の組$(a,\,b)$は無数に存在することを示せ。


《問題#53》

$s_n=5^n+3^n$ を$1001$で割った余りが$1$となるような正の整数$n$をすべて求めよ。


《問題#54》

方程式$$5408 = a^2 + b^2 +c^2$$を満たす正の整数 $a,\,b,\,c$($a>b>c>0$)の組をすべて求めよ。


 


【コメント】

半ば自分のための備忘録として「創作整数問題gallery」と題して個人的に創作した整数問題を列挙してみました(同じ問題を作ってしまってはマズいので・・・(笑))。

気に入った問題はあったでしょうか?良作もあれば駄作もあります。今後もじわじわと増えていくと思いますので、お楽しみに。


戻る