「実数解がある」と「指定された区間に解がある」は別の条件です。二次方程式の解の配置では、判別式だけで答えを出すことはできません。解の個数、区間の端を含むかどうか、重解を数えるかどうかを決め、グラフの形から必要十分条件を作ります。
この記事では実数係数の二次式$f(x)=Ax^2+Bx+C$を扱い、原則として$A>0$とします。$A<0$なら式全体に$-1$を掛ければ零点は変わりません。$A=0$になるパラメータ値は、二次方程式とは別に調べます。
1．3つの情報の役割
| 情報 | 分かること | それだけでは分からないこと |
|---|---|---|
| 判別式$D$ | 実数解の有無・重解 | 解が区間のどこにあるか |
| 軸$x=h$ | 2解の中点 | 2解の距離 |
| 端点の値$f(a),f(b)$ | 端点が2解の間か外か | 両方正のとき、どちら側にあるか |
異なる2実根を$\alpha<\beta$とすれば、$f(x)=A(x-\alpha)(x-\beta)$です。したがって$f(x)<0$は$\alpha<x<\beta$、$f(x)>0$は$x<\alpha$または$x>\beta$を表します。この符号の読み替えから各公式を導けます。
2．2解がともに正・負になる条件
解と係数の関係を使うと、$\alpha+\beta=-B/A,\ \alpha\beta=C/A$です。異なる2つの正の実数解を持つための必要十分条件は
積が正なら2解は同符号です。和が正なら両方が正となります。ただし、この議論は実数解が存在することを前提にしているため、$D>0$を省けません。負の2解では和を負に変えます。重解を許すなら$D\ge0$とします。
解答
$D/4=m^2-m-2=(m-2)(m+1)>0$、和$2m>0$、積$m+2>0$です。共通範囲は$m>2$です。$m=2$では$(x-2)^2=0$となり、異なる2解という条件から外れます。
3．2解がともに境界の右・左にある条件
異なる2解がともに$a$より右にある条件は、
$f(a)>0$から$a$は2解の外側です。軸が$a$より右なので、$a$が2解の右側にある可能性を除けます。同様に、2解がともに$b$より左にある条件は$D>0,\ h<b,\ f(b)>0$です。
境界を含む場合は、右側なら$D\ge0,\ h\ge a,\ f(a)\ge0$が「2根が重複度込みで$[a,\infty)$にある」条件です。異なる2根に限定するなら$D>0$だけを厳密不等号に戻します。
解答
$D/4=4m^2-3m-2>0$、軸$h=2m>1$、$f(1)=3-m>0$です。判別式の境界は$m=(3\pm\sqrt{41})/8$なので、共通範囲は
$m=3$では$x=1$が解となり、厳密に1より大きい条件を満たしません。
4．2解がともに区間の内部にある条件
$a<b$とします。異なる2解がともに$(a,b)$に入るための必要十分条件は
軸が区間内にあり、頂点が$x$軸より下にあり、両端が$x$軸より上にあるので、左右で1回ずつ交わります。逆に2解が区間内にあれば、これらの条件はすべて成立します。
端点の符号だけでは不十分です。例えば$f(x)=(x-3)(x-4)$は$f(0)>0,\ f(1)>0,\ D>0$ですが、$(0,1)$には解がありません。軸の条件がこの取り違えを防ぎます。
解答
$D/4=m(m-1)>0$、$0<m<3$、$f(0)=m>0$、$f(3)=9-5m>0$を組み合わせます。よって$1<m<9/5$です。$m=1$は重解、$m=9/5$は端点$x=3$を解に持つため除きます。
重解を含めて2根が$[a,b]$にある条件なら、上の4条件をすべて非厳密不等号にします。異なる2根が$[a,b]$にあるなら、$D>0$とし、他は$a\le h\le b,\ f(a)\ge0,\ f(b)\ge0$です。
5．境界をまたぐ条件は、端点の符号1つで分かる
$a$をはさんで1つずつ実数解を持つ、すなわち$\alpha<a<\beta$となる条件は$f(a)<0$だけです。$A>0$なら、この条件自体が異なる実数解の存在を保証するので、判別式を別に加える必要はありません。
閉区間$[a,b]$の外側に1つずつ、すなわち$\alpha<a<b<\beta$なら$f(a)<0,\ f(b)<0$です。二次式が負になる区間が2根の間にあることから分かります。
解答
$f(1)=1-m<0$より$m>1$です。この範囲では$D/4=m(m-1)>0$も自動的に成立します。
6．区間内に少なくとも1解――最大値と最小値を使う
「少なくとも1つ」では、2解が入る場合も重解も認めます。連続性から、閉区間$[a,b]$に零点がある条件は
$A>0$では最大値は$\max\{f(a),f(b)\}$です。最小値は軸が左なら$f(a)$、区間内なら$f(h)$、右なら$f(b)$です。この方法なら、端点が解である場合や接するだけの場合をまとめて扱えます。
解答：軸の位置で場合分け
$f(0)=m,\ f(1)=1-m,\ h=m$です。
- $m<0$：両端の符号が逆なので解があります。
- $0\le m\le1$：最小値は$m-m^2\ge0$です。0になる$m=0,1$だけが該当します。
- $m>1$：両端の符号が逆なので解があります。
答えは$m\le0$または$m\ge1$です。
7．「ちょうど1つ」は端点と重解を分ける
開区間$(a,b)$で$f(a)f(b)<0$なら、二次式の零点は内部にちょうど1つあります。しかし逆は常に成立しません。内部の重解1つや、もう1つの根が端点にある場合もあるからです。
例えば$(x-1)^2=0$は$(0,2)$に異なる実数として1つの解を持ちますが、$f(0)f(2)>0$です。また$x(x-1)=0$は$(0,2)$に1つだけ解$x=1$を持ちますが、端点$x=0$も根なので$f(0)f(2)=0$です。
確実な手順は、まず$f(a)=0,f(b)=0,D=0$のパラメータ値を取り出して直接調べ、それ以外で端点の符号を使うことです。「解の個数」が異なる値の個数か、重複度を数えるのかも問題文で確認します。
8．二次の係数が0になる場合
解答
$m=1$なら一次方程式$-2x+1=0$で解があります。$m\ne1$では$D=4-4(m-1)=4(2-m)\ge0$より$m\le2$です。合わせて答えは$m\le2$。ただし$m=1$を含む理由は判別式ではなく、一次方程式の直接確認です。
9．条件を作る確認問題6題
- $x^2-2mx+4=0$が異なる2つの負の解を持つ条件。
- $x^2-2mx+4=0$が$x=1$をはさんで2解を持つ条件。
- $x^2-2mx+m=0$の2根が、重解を許して$[0,3]$に入る条件。
- $x^2-2mx+m=0$の異なる2根がともに1未満となる条件。
- $x^2-2mx+m=0$が$(0,1)$にちょうど1つの実数解を持つ条件。
- $f(a)f(b)<0$は一般の三次関数でも「ちょうど1解」を保証しますか。
解答と検算の要点
- $m^2-4>0,\ 2m<0$より$m<-2$です。
- $f(1)=5-2m<0$より$m>5/2$です。
- $m(m-1)\ge0,\ 0\le m\le3,\ m\ge0,\ 9-5m\ge0$より$m=0$または$1\le m\le9/5$です。孤立した$m=0$を落とさないことが大切です。
- $m(m-1)>0,\ m<1,\ 1-m>0$より$m<0$です。
- $m<0$または$m>1$です。$m=0,1$の根は端点だけなので除きます。$0<m<1$では実数解がありません。
- 保証しません。$f(x)=x(x-1)(x+1)$は$[-2,2]$の端点で異符号ですが、内部に3根あります。連続性が保証するのは少なくとも1根であり、二次式の次数が個数の上限を与えていました。
関連：高校数学のコツ。条件を暗記する場合も、$f(x)=A(x-\alpha)(x-\beta)$の符号から復元できるようにしておくと、境界を含む問題へ対応できます。