量子力学：エルミート演算子の性質に関する証明

エルミート演算子の性質に関する簡単なメモ書きです。

※参考：スピン1/2系の固有状態とエルミート性に関する証明

---

---

・証明①

$X=|\alpha ⟩⟨\beta |⟺X^{†}=|\beta ⟩⟨\alpha |$ の証明

【方針】$X|\gamma ⟩\stackrel{DC}{\leftrightarrow }⟨\gamma |X^{†}$ の関係を利用する。

いま、$X=|\alpha ⟩⟨\beta |$ であるから$$\begin{array}{rl}X|\gamma ⟩& =|\alpha ⟩⟨\beta |\gamma ⟩\\ & =|\alpha ⟩(⟨\beta |\gamma ⟩)\\ & \stackrel{DC}{\leftrightarrow }⟨\alpha |(⟨\beta |\gamma ⟩{)}^{\ast }\\ & =⟨\alpha |(⟨\gamma |\beta ⟩)\\ & =⟨\gamma |\beta ⟩⟨\alpha |\\ & =⟨\gamma |Y\end{array}$$ここで $Y=|\beta ⟩⟨\alpha |$ と置いた。ところで、$X|\gamma ⟩\stackrel{DC}{\leftrightarrow }⟨\gamma |Y$ を満たすような演算子$Y$は$X$のエルミート共役であるから $Y=X^{†}$ が成立する。

双対性を示すことで証明した。

 

---

・証明②

エルミート演算子の固有値は実数であることの証明

【方針】エルミート演算子の性質を利用して共役複素数が互いに等しいことを示す。

$\hat{F}$をエルミート演算子とし、その固有値と固有関数をそれぞれ$f$、$\psi$とする。ここで$\psi$は規格化されているものとする。

このとき、$$\hat{F}\psi =f\psi \cdots (\ast )$$が成立する。この両辺のエルミート共役をとると$${\psi }^{\ast }{\hat{F}}^{†}=f^{\ast }{\psi }^{\ast }\cdots (\ast \ast )$$となる。式$(\ast )$の両辺に左から${\psi }^{\ast }$をかけて座標で積分すると、${\displaystyle \int {\psi }^{\ast }\psi dq=1}$ であるから$$\int {\psi }^{\ast }\hat{F}\psi dq=\int f{\psi }^{\ast }\psi dq$$ $$\therefore \int {\psi }^{\ast }\hat{F}\psi dq=f$$を得る。また、式$(\ast \ast )$の両辺に右から$\psi$をかけて座標で積分すると、${\displaystyle \int {\psi }^{\ast }\psi dq=1}$ であるから$$\int {\psi }^{\ast }{\hat{F}}^{†}\psi dq=\int f^{\ast }{\psi }^{\ast }\psi dq$$ $$\therefore \int {\psi }^{\ast }{\hat{F}}^{†}\psi dq=f^{\ast }$$を得る。

これは$$⟨\psi |\hat{F}|\psi ⟩=f,⟨\psi |{\hat{F}}^{†}|\psi ⟩=f^{\ast }$$を意味しており、$\hat{F}$がエルミート演算子のときこれらは等しくなることが必要である（$\hat{F}$はエルミート演算子なので ${\hat{F}}^{†}=\hat{F}$ が成立する）。

複素数$f$について $f=f^{\ast }$ が成り立つとき$f$は実数であるから、エルミート演算子の固有値は実数であることが示された。

（※）$\hat{F}$の固有値$f$は古典物理量$F$を測定したときの測定値となるから、$f$は実数でなければならない。これにより上記の条件が要請されている。

 

---

・証明③

エルミート演算子$\hat{F}$の異なる固有値に対応する波動関数が直交することの証明

【方針】${\displaystyle \int {\psi }_i^{\ast }{\psi }_{j}dq=0}$ を示す。

$f_i\ne f_j$ かつ$$\{\begin{array}{l}\hat{F}{\psi }_i=f_i{\psi }_i\cdots (\ast )\\ \hat{F}{\varphi }_j=f_j{\varphi }_j\cdots (\ast \ast )\end{array}$$とする。式$(\ast )$の両辺について複素共役をとり、左から${\varphi }_j$をかけて座標$q$で積分すると、$$\int {\varphi }_j{\hat{F}}^{\ast }{\psi }_i^{\ast }dq=\int {\psi }_j{f}_i^{\ast }{\varphi }_i^{\ast }dq=f_i\int {\psi }_j{\psi }_i^{\ast }dq$$を得る。また、式$(\ast \ast )$の両辺に左から${\varphi }_i^{\ast }$をかけて座標$q$で積分すると、$$\int {\varphi }_i^{\ast }\hat{F}{\psi }_{j}dq=f_j\int {\psi }_i^{\ast }{\psi }_{j}dq$$を得る。$\hat{F}$はエルミート演算子であり$$\int {\varphi }_j{\hat{F}}^{\ast }{\psi }_i^{\ast }dq=\int {\varphi }_i^{\ast }\hat{F}{\psi }_{j}dq$$が成立するから右辺も等しく、$$f_i\int {\varphi }_j{\psi }_i^{\ast }dq=f_j\int {\varphi }_i^{\ast }{\varphi }_{j}dq$$ $$\therefore (f_i-f_j)\int {\varphi }_i^{\ast }{\varphi }_{j}dq=0$$となる。ここで $f_i\ne f_j$ であるから両辺を $f_i-f_j$ で割ると$$\therefore \int {\varphi }_i^{\ast }{\varphi }_{j}dq=0$$を得る。これより、エルミート演算子$\hat{F}$の異なる固有値に対応する波動関数が直交することが示された。

---