問題#A001 ★☆☆☆
$100!$の末尾には$0$が何個連なるか。
《ポイント》
末尾に$0$が幾つあるかを調べる問題では、特に本問のような階乗タイプなら素因数$5$の個数に着目するのが定石です。
（当然ながら）$10$進法で考えるとき、例えば末尾に$0$が$3$個あれば、その整数は$1000$の倍数です。つまり$5$を$3$個だけ素因数に持つことになります。例えば$n!$の末尾に$0$が$3$個あれば、$5$を$3$個だけ素因数に持たなければならないので$n$は$15$以上$19$以下であることが分かります。
$5$という素因数に着目しているのは$2$の倍数よりも$5$の倍数の方が少ないからです。$10$進法ではない場合にも対応えきるように「少ない方の素因数の個数を数える」のが合理的だということは覚えておきましょう。
《解答例》
$1$から$100$までに$5$の倍数は$20$個、$5^2=25$の倍数は$4$個存在するから、$100!$は$5$を$20+4$個だけ素因数に持つ。故に$100!$の末尾には$0$が$24$個連なる。
（答）$24$個
《コメント》
因みに$100!$は
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
という$158$桁の数です。もちろん覚える必要はありません(笑)。