問題#A002 ★☆☆☆
$180$の正の約数の個数と、正の約数の総和を求めよ。
《ポイント》
$n=60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$という数に対して、正の約数の個数は
$(2+1)(1+1)(1+1)=12$個
で与えられます。これは組み合わせを考えると分かりやすいかもしれません。即ち、$2$という素因数を幾つ取るか、$3$という素因数を幾つ取るか、$5$という素因数を幾つ取るかについて全ての場合の数で表すと、正の約数の個数はこっらの場合の数の積として与えられます。「$+1$」というのが気になるかもしれませんが、これは例えば$2^0$を掛けることに相当しています。つまり、$60$の約数には$15$が含まれていますが、約数の個数を数える場面では$15$を$2^0 \cdot 3 \cdot 5$と見なした方が都合が良いのです。これを機械計算でパッとやってしまうために「$+1$」を加えているのでした。
この考え方は約数の総和についても同じです。正の約数の総和は
$(2^2+2^1+2^0)(3^1+3^0)(5^1+5^0)=7 \cdot 4 \cdot 6=168$
で与えられます。左辺を展開すると約数の総和になっていますので、疑念が晴れない方は是非展開して確かめてみることをお勧めします。あるいは展開した約数の羅列を指数表示のまま因数分解してみると良いでしょう。
《解答例》
$180=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$より、
正の約数の個数は
$(2+1)(2+1)(1+1)=18$個
正の約数の総和は
$(2^2+2^1+2^0)(3^2+3^1+3^0)(5^1+5^0)=7 \cdot 13 \cdot 6=546$
となる。
（答）個数：$18$個 総和：$546$
《コメント》
素因数分解さえできれば個数も総和も求められますね。