問題#A005

問題#A005 ★★☆☆

正の約数の個数が8個で、正の約数の総和が72であるような正の整数nを求めよ。 ただし正の約数にはn1を含めるものとする。


《ポイント》

場合分けが発生するのでやや難しい問題です。約数の個数と総和について条件が与えられているので、これにしたがって絞り込んでいきます。約数については問題#A002も確認しておいてください。


《解答例》

nの異なる素因数が4個だとすると、正の約数の個数は(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=16となり条件に反する。よってnの異なる素因数は3個以下である。

そこでnの異なる素因数が1個だとすると、正の約数の個数は8個なのでn=p7 (pN2)となる必要があるが、これはn27=128となり正の約数の総和が72であることに反する。

以上より、nの異なる素因数は2個または3個となる。以下、この2つの場合について場合分けして考える。

ここで、正の約数の総和が72であり、正の約数にはnを含めるからn722=36  ()が必要であることに注意しておく。

 

ⅰ)nの異なる素因数が2個のとき、約数の個数が8個であるからn=p3qと置ける。ただしp,qは互いに異なる2以上の自然数である。

p3とするとn33q=27qとなるが、q2であるからn36を超えてしまう。よってp=2が必要である。

これと()より8q36、即ちq=3が必要である。このときn=24となるが、24の約数の総和は60なので不適である。

 

ⅱ)nの異なる素因数が3個のとき、約数の個数が8個であるからn=pqrと置ける。ただしp,q,rはいずれも互いに異なる2以上の自然数である。いま、p,q,rはいずれも対等なので一般性を失うことなくp<q<rと置ける。

p3とするとn357=105となり正の約数の総和が72であることに反する。よってp=2が必要である。

これと()より2qr36、即ちqr18が必要である。ここでq5とするとqr57=35となりqr18に反するから、q=3が必要である。

よってn=6q36よりq=5が必要となるからn=30を得る。30の正の約数の個数は8個、正の約数の総和は72であるから適する。

 

以上ⅰ)、ⅱ)より、求める正の整数n30である。

 

(答)n=30


《コメント》

ちょっと面倒な問題でしたが、仮定して矛盾を示し候補を絞り込むというのは整数問題の基本です。しっかりマスターしておきたいですね。

なお、素因数が3個のときの証明ではp<q<rという条件を勝手に設定しています。n=pqrと置いたときに、pqqrなどを入れ替えても同じ式になる、つまりp,q,rについて対称な式なのでp<q<rと仮定しても問題無いのです。この技を使えば不等関係の議論に持ち込めるので、スムーズに議論できるようになります。


戻る