問題#A008 ★☆☆☆
$n^4-3n^2+9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ。
《ポイント》
整式が素数になる条件に関する問題です。素数とは$1$と自身以外に約数を持ちませんから、まずは因数分解してみましょう。
《解答例》
$\begin{align} n^4-3n^2+9 &=(n^2+3)^2-(3n)^2 \\ &=(n^2-3n+3)(n^2+3n+3) \end{align}$
となるから、
$n^2-3n+3=1$ または $n^2+3n+3=1$
が必要である。
ⅰ）$n^2-3n+3=1$のとき、$n=1、2$となるが、$n=1、2$のとき与式はそれぞれ$7$、$13$となり素数となる。
ⅱ）$n^2+3n+3=1$のとき、$n=-1、-2$となるが、$n=-1、-2$のとき与式はそれぞれ$13$、$37$となり素数となる。
以上より、求める整数$n$は$n=-2、-1、1、2$となる。
（答）$n=-2、-1、1、2$
《コメント》
整式が因数分解されて積の形になれば解の候補がグッと絞り込めます。「素数」という条件があれば、$1$に等しくならなければならない因数があるはずなので、そこから絞り込みができます。整式の絡んだ整数問題における常套手段なので覚えておきましょう。