問題#A010 ★★☆☆
$123456789$は$9$の倍数であることを示せ。
次に、整数$n$が$9$の倍数ならば、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れることを示せ。また、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れるならば、整数$n$が$9$の倍数であることを示せ。
《ポイント》
$9$の倍数の倍数判定法に関する問題です。これはちょっとした知識問題かもしれません･･･。
$9$の倍数の倍数判定法は皆さんご存知の通り、
「各位の数の和が$9$で割り切れれば$9$の倍数」
というものです。本問はこの事実を証明する問題です。
《解答例》
$123456789=9 \cdot 13717421$より、$123456789$は$9$の倍数である。
整数$n$を$k$桁の整数とし、10進法表示を$$\overline{a_k a_{k-1} \cdots a_2 a_1}_{(10)}$$とすると、$$n=10^{k-1}a_k + 10^{k-2}a_{k-1} + \cdots + 10 a_2+ a_1$$と表せる。ここで
$\begin{align}& \ \ \ \ \ 10^k \\
&=(9+1)^k \\
&=9^k+9^{k-1} {}_k \mathrm{C}_1 + \cdots + 9^{1} {}_k \mathrm{C}_{k-1} +1 \\
&= 9N +1 \ (N \in \mathbb{N}) \end{align}$
であるという事実を用いると、
$$\begin{align}& \ \ \ \ \ n \\
&=(9+1)^{k-1}a_k + (9+1)^{k-2}a_{k-1} + \cdots + (9+1) a_2+ a_1 \\
&=(9N_k+1)a_k + (9N_{k-1}+1)a_{k-1} + \cdots + (9+1) a_2+ a_1 \\
&=9N’+(a_k + a_{k-1} + \cdots + a_2+ a_1) \end{align}$$と変形できる。
$9N’$は$9$の倍数であるから、整数$n$が$9$の倍数ならば$a_k + a_{k-1} + \cdots + a_2+ a_1$も$9$の倍数でなければならない。故に整数$n$が$9$の倍数ならば、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れることが示された。
また上式より、$a_k + a_{k-1} + \cdots + a_2+ a_1$が$9$で割り切れるならば、整数$n$は$9$の倍数となるから、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れるならば、整数$n$が$9$の倍数であることが示された。
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《コメント》
今回は$9$の倍数判定法がテーマでしたが、同様に$3$の倍数判定法も導けますし、$11$の倍数判定法も定義することができます。
$11$の倍数判定法は $10^k=(11-1)^k$ を利用するだけです。例えば$516791$は$11$の倍数ですが、一の位から一つ飛ばしで各位の数を足していった和（$1+7+1=9$）と十の位から一つ飛ばしで各位の数を足していった和（$9+6+5=20$）の差が$11$の倍数なので$516791$は$11$の倍数です。
一の位から一つ飛ばしで各位の数を足していった和 $S_1$ と十の位から一つ飛ばしで各位の数を足していった和 $S_2$ の差 $S_1-S_2$ が$11$ の倍数なら、その整数は$11$の倍数である、というのが$11$の倍数判定法です。（倍数かどうかを判定するだけなので $S_1-S_2$ の符号はどうでもいいです）
これを使えば、例えば「$53492089143119$」なんかが$11$の倍数であることがすぐ分かりますね。興味のある方は是非とも証明にチャレンジしてみてください。