問題#A011

問題#A011　★★☆☆

正の整数$n$が完全平方数であることと、正の整数$n$の約数の個数が奇数であることは同値であることを示せ。

---

《ポイント》

約数の個数を求める式を利用します。素因数を適当に置いた方がスムーズに証明できます。

---

《解答例》

正の整数$n$が完全平方数ならば、各素因数の指数は偶数であり、$m$個の素因数を持つとすれば$$n=p_1^{2k_1}{p}_2^{2k_2}{p}_3^{2k_3}\cdots p_m^{2k_m}$$（ただし$k_i(i=1,2,\cdots )$は正の整数）と表すことができるから約数の個数は$$(2k_1+1)(2k_2+1)(2k_3+1)\cdots (2k_m+1)$$となり奇数となる。

逆に、正の整数$n$が$m$個の素因数を持つとして、約数の個数が奇数、つまり$$(2k_1+1)(2k_2+1)(2k_3+1)\cdots (2k_m+1)$$（ただし$k_i(i=1,2,\cdots )$は正の整数）で与えられるならば、正の整数$n$は$$n=p_1^{2k_1}{p}_2^{2k_2}{p}_3^{2k_3}\cdots p_m^{2k_m}$$と表すことができるから完全平方数となる。

以上により、正の整数$n$が完全平方数であることと、正の整数$n$の約数の個数が奇数であることは同値であることが示された。

□

---

《コメント》

「完全平方数 ⇔ 約数が奇数個」という関係は自明とは言えないので、この事実が必要な場面(あまり無さそうですが)ではちゃんと証明してから使いましょう。

---

戻る