問題#A013 ★★★☆
ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$は上$2$桁の数$\overline{ab}$の2乗と下$2$桁の数$\overline{cd}$の2乗の和に等しい。つまり、等式$$\overline{abcd}=\overline{ab}^2+\overline{cd}^2$$が成立する。このような整数$abcd$をすべて求めよ。
《ポイント》
取っ掛かりが掴めなさそうなら10進法表示にさっさと直すのが吉です。さて、得られる方程式をどう処理するかが問題となりますが･･･。
《解答例》
$\overline{ab}=x$、$\overline{cd}=y$と置くと、与等式は$$100x+y=x^2+y^2$$となる。これより$x^2=100x-y(y-1)$となるが、$y(y-1)$は隣接する2整数の積であるから偶数であり右辺は偶数となるから左辺も偶数でなければならない。故に$x$は偶数でなければならないから、$x=2X$と置ける。ただし$X$は$5 \leqq X \leqq 49$を満たす整数である。これより等式は$$4X^2-200X+y(y-1)=0$$となる。よって$y$または$y-1$のいずれかが$4$の倍数となることが必要である。
ここで、$y=0$のとき$x=0,100$となり不適となることに注意する。
ⅰ）$y=4m \ (m \in \mathbb{N} \leqq 24)$と置けるとき、与等式を$X$について整理すると$$X^2-50X+m(4m-1)=0$$となる。故に$$X=25 \pm \sqrt{25^2-m(4m-1)}$$を得る。$X$が整数であるためには $25^2-m(4m-1)\geqq 0$ が必要であるから、これを解いて $1 \leqq m \leqq 12$ を得る。しかしこれらの$m$のうち $25^2-m(4m-1)$ が完全平方数になるものは存在しないため不適である。
ⅱ）$y=4m+1 \ (m \in \mathbb{N} \leqq 24)$と置けるとき、与等式を$X$について整理すると$$X^2-50X+m(4m+1)=0$$となる。故に$$X=25 \pm \sqrt{25^2-m(4m+1)}$$を得る。$X$が整数であるためには $25^2-m(4m+1)\geqq 0$ が必要であるから、これを解いて $1 \leqq m \leqq 12$ を得る。これらの$m$のうち $25^2-m(4m-1)$ が完全平方数になるものは $m=8$ 、つまり $y=33$ のときのみである。
$y=33$のとき$x=12$または$x=88$を得るが、$1233=12^2+33^2$、$8833=88^2+33^2$より、いずれも適している。故に題意の条件を満たす整数は$1233$、$8833$の２つである。
（答）$1233$、$8833$
《コメント》
$x、y$のままだと候補が多すぎて調べきれないので、倍数の関係を利用してある程度絞り、2次式の処理は解の公式で行いました。平方数になるかどうかの照合作業が割と手間ですが、計算用紙にやっておき、解答用紙に全て書き下す必要は無いでしょう。