問題#A015

問題#A015　★★★☆

ある4桁の整数abcd―は、各位の数を反転させてできる4桁の整数dcba―の倍数になるという。ただしabcd―≠dcba―とする。

（１）1≦d≦4を示せ。

（２）このような整数abcd―をすべて求めよ。

《ポイント》

方針を間違えば場合分けの激しい問題に様変わりしてしまいます。端の数から攻めていくのが基本方針となります。（１）の誘導設問が無くても、1≦d≦4 となることには自分で気付けなければなりません。倍数を設定すればaの値の範囲を決めることもできます。

《解答例》

（１）

dcba―は4桁の整数でありd≠0となるからdは１桁の自然数である。

abcd―がdcba―の倍数（ただしabcd―≠dcba―）となるから2以上9以下の整数kを用いて(1)abcd―=k⋅dcba―と書ける。d≧5とするとk≧2よりabcd―は5桁以上の整数となるので不適。よって1≦d≦4である。

□

（２）

abcd―は4桁の整数だからa≠0である。

(1)より、dはkaの一の位の数に一致することに注意する。また、1000a<abcd―<1000(a+1)および1000kd<k⋅dcba―<1000(k+1)dが成立するから、(1)より、1000kd<1000(a+1)かつ1000a<1000(k+1)dが成立する。故に1000(kd−1)<1000a<1000(k+1)d (2)∴kd−1<a<(k+1)dを得る。

以下、dについて場合分けする。

ⅰ）d=1のとき、(2)よりk−1<a<k+1である。kaは奇数であることが必要であり、1≦a≦9、2≦k≦9 の下で、k−1<a<k+1を満たし、かつ積の下一桁が1となる組を探すと、(a,k)=(9,9)を得る。このときabcd―=9000+100b+10c+1となり、これがdcba―の9の倍数となるから9000+100b+10c+1=9(1000+100c+10b+9) ∴b=89c+8となる。1≦b≦9より、b=8、c=0に限られ、abcd―=9801を得る。

ⅱ）d=2のとき、(2)より2k−1<a<2(k+1)である。また、k≧5とするとabcd―は5桁以上の整数となるので不適。よって2≦k≦4である。1≦a≦9、2≦k≦4 の下で、2k−1<a<2(k+1)を満たし、かつ積の下一桁が2となる組を探すと、(a,k)=(8,4)を得る。このときabcd―=8000+100b+10c+2となり、これがdcba―の4の倍数となるから8000+100b+10c+2=4(2000+100c+10b+8) ∴2b=13c+1となる。1≦b≦9より、b=7、c=1に限られ、abcd―=8712を得る。

ⅲ）d=3のとき、(2)より3k−1<a<3(k+1)である。また、k≧4とするとabcd―は5桁以上の整数となるので不適。よって2≦k≦3である。1≦a≦9、2≦k≦3 の下で、3k−1<a<3(k+1)を満たし、かつ積の下一桁が3となるような組(a,k)は存在しない。よって不適である。

ⅳ）d=4のとき、k≧3とするとabcd―は5桁以上の整数となるので不適。よってk=2に限られる。(2)より4k−1<a<4(k+1)となるから、k=2よりa=9またはa=8に限られるが、このときkaの下一桁の数が4になることは無いので不適である。

以上より、題意の条件を満たす整数は8712、9801の２つである。

（答）8712、9801

《コメント》

aの値の範囲を絞らないとかなり時間が掛かってしまいます。こういうシラミ潰しの問題では如何に候補を削っていくかがポイントです。解答例でいうところの kd−1<a<(k+1)d という条件に辿り着けなくても答えは出せますが、延々と煩雑な計算をする羽目になります。３桁の場合ならもっと計算は楽になりますが、高校入試レベルです。

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