問題#A015 ★★★☆
ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$は、各位の数を反転させてできる$4$桁の整数$\overline{dcba}$の倍数になるという。ただし$\overline{abcd} \ne \overline{dcba}$とする。
（１）$1 \leqq d \leqq 4$を示せ。
（２）このような整数$\overline{abcd}$をすべて求めよ。
《ポイント》
方針を間違えば場合分けの激しい問題に様変わりしてしまいます。端の数から攻めていくのが基本方針となります。（１）の誘導設問が無くても、$1 \leqq d \leqq 4$ となることには自分で気付けなければなりません。倍数を設定すれば$a$の値の範囲を決めることもできます。
《解答例》
（１）
$\overline{dcba}$は$4$桁の整数であり$d \ne 0$となるから$d$は１桁の自然数である。
$\overline{abcd}$が$\overline{dcba}$の倍数（ただし$\overline{abcd} \ne \overline{dcba}$）となるから$2$以上$9$以下の整数$k$を用いて$$ \overline{abcd}=k \cdot \overline{dcba} \tag{1}$$と書ける。$d \geqq 5$とすると$k \geqq 2$より$\overline{abcd}$は$5$桁以上の整数となるので不適。よって$1 \leqq d \leqq 4$である。
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（２）
$\overline{abcd}$は$4$桁の整数だから$a \ne 0$である。
$(1)$より、$d$は$ka$の一の位の数に一致することに注意する。また、$$\color{Violet}{1000a} <\overline{abcd} < \color{Green}{1000(a+1)}$$および$$ \color{Green}{1000kd}<k \cdot \overline{dcba}<\color{Violet}{1000(k+1)d}$$が成立するから、$(1)$より、$\color{Green}{1000kd}<\color{Green}{1000(a+1)}$かつ$\color{Violet}{1000a}<\color{Violet}{1000(k+1)d}$が成立する。故に$$1000(kd-1)<1000a<1000(k+1)d$$ $$\therefore kd-1<a<(k+1)d \tag{2}$$を得る。
以下、$d$について場合分けする。
ⅰ）$d=1$のとき、$(2)$より$k-1<a<k+1$である。$ka$は奇数であることが必要であり、$1 \leqq a \leqq 9$、$2 \leqq k \leqq 9$ の下で、$k-1<a<k+1$を満たし、かつ積の下一桁が$1$となる組を探すと、$(a,k)=(9,9)$を得る。このとき$\overline{abcd}=9000+100b+10c+1$となり、これが$\overline{dcba}$の$9$の倍数となるから$$9000+100b+10c+1=9(1000+100c+10b+9)$$ $$\therefore b=89c+8$$となる。$1 \leqq b \leqq 9$より、$b=8$、$c=0$に限られ、$\overline{abcd}=9801$を得る。
ⅱ）$d=2$のとき、$(2)$より$2k-1<a<2(k+1)$である。また、$k \geqq 5$とすると$\overline{abcd}$は$5$桁以上の整数となるので不適。よって$2 \leqq k \leqq 4$である。$1 \leqq a \leqq 9$、$2 \leqq k \leqq 4$ の下で、$2k-1<a<2(k+1)$を満たし、かつ積の下一桁が$2$となる組を探すと、$(a,k)=(8,4)$を得る。このとき$\overline{abcd}=8000+100b+10c+2$となり、これが$\overline{dcba}$の$4$の倍数となるから$$8000+100b+10c+2=4(2000+100c+10b+8)$$ $$\therefore 2b=13c+1$$となる。$1 \leqq b \leqq 9$より、$b=7$、$c=1$に限られ、$\overline{abcd}=8712$を得る。
ⅲ）$d=3$のとき、$(2)$より$3k-1<a<3(k+1)$である。また、$k \geqq 4$とすると$\overline{abcd}$は$5$桁以上の整数となるので不適。よって$2 \leqq k \leqq 3$である。$1 \leqq a \leqq 9$、$2 \leqq k \leqq 3$ の下で、$3k-1<a<3(k+1)$を満たし、かつ積の下一桁が$3$となるような組$(a,k)$は存在しない。よって不適である。
ⅳ）$d=4$のとき、$k \geqq 3$とすると$\overline{abcd}$は$5$桁以上の整数となるので不適。よって$k=2$に限られる。$(2)$より$4k-1<a<4(k+1)$となるから、$k=2$より$a=9$または$a=8$に限られるが、このとき$ka$の下一桁の数が$4$になることは無いので不適である。
以上より、題意の条件を満たす整数は$8712$、$9801$の２つである。
（答）$8712$、$9801$
《コメント》
$a$の値の範囲を絞らないとかなり時間が掛かってしまいます。こういうシラミ潰しの問題では如何に候補を削っていくかがポイントです。解答例でいうところの $kd-1<a<(k+1)d$ という条件に辿り着けなくても答えは出せますが、延々と煩雑な計算をする羽目になります。３桁の場合ならもっと計算は楽になりますが、高校入試レベルです。