$a_1=3^7$、$a_{n+1}=(a_n)^7 \ (n=1,2,3,\cdots)$ により定義される数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$の下一桁の数字を求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ001を閉じる

自然数$n$に対して、$7^n$の一の位を$a_n$で表すとき、次の問いに答えよ。

（１）$a_{99}$を求めよ。

（２）$-n^2+2n a_{n}$ の最大値およびそのときの$n$を求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ002を閉じる

以下の問いに答えよ。ただし、（１）については、結論のみを書けばよい。

（１）$n$を正の整数とし、$3^n$を$10$で割った余りを$a_n$とする。$a_n$を求めよ。

（２）$n$を正の整数とし、$3^n$を$4$で割った余りを$b_n$とする。$b_n$を求めよ。

（３）数列$\{x_n\}$を次のように定める。

$x_1=1$、$x_{n+1}=3^{x_n} \ (n=1,2,3,\cdots)$

$x_{10}$を$10$で割った余りを求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ003を閉じる

初項が$1$で公差が自然数$d$である等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$n \geqq 3$ のとき、次の問に答えよ。

（１）$S_n=94$ となる$n$と$d$がちょうど一組ある。その$n$と$d$を求めよ。

（２）$S_n=98$ となる$n$と$d$の組はない。その理由を述べよ。

解答例

» 問題#Ⅰ004を閉じる

自然数$n$に対して、$10^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく。$a_n$は$0$から$12$までの整数である。以下の問いに答えよ。

（１）$a_{n+1}$は$10⁢a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ。

（２）$a_1$、$a_2$、$\cdots$、$a_6$を求めよ。

（３）以下の３条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ。

（ⅰ）$N$を十進法で表示したとき$6$桁となる。

（ⅱ）$N$を十進法で表示して、最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる。

（ⅲ）$N$は$13$で割り切れる。

解答例

» 問題#Ⅰ005を閉じる

整数 $n \geqq 0$ に対し、$b(n)=2n$、$a_n=2^{b(n)}+1$ とする。

（１）数学的帰納法を用いて、$$a_0 a_1 \cdots a_n=2^{b(n+1)}−1 \ (n \geqq 1)$$を示せ。

（２）$a_{n+1}=a_0 a_1 \cdots a_{n}+2 \ (n \geqq 1)$ を示し、$l>m \geqq 1$ のとき、$a_l$と$a_m$は$1$より大きい公約数を持たないことを示せ。

解答例

» 問題#Ⅰ006を閉じる

$1$から$n$までの自然数$1$、$2$、$3$、$\cdots$、$n$の和を$S$とするとき、次の問に答えよ。

（１）$n$を$4$で割った余りが$0$または$3$ならば、$S$が偶数であることを示せ。

（２）$S$が偶数ならば、$n$を$4$で割った余りが$0$または$3$であることを示せ。

（３）$S$が$4$の倍数ならば、$n$を$8$で割った余りが$0$または$7$であることを示せ。

解答例

» 問題#Ⅰ007を閉じる

約数、公約数、最大公約数を次のように定める。

・$2$つの整数$a$、$b$に対して、$a=bk$ をみたす整数$k$が存在するとき、$b$は$a$の約数であるという。

・$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という。

・少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という。

以下の問に答えよ。

（１）$a$、$b$、$c$、$p$は$0$でない整数で $a=p⁢b+c$ をみたしているとする。

(ⅰ)　$a=18$、$b=30$、$c=−42$、$p=2$ のとき、$a$と$b$の公約数の集合$S$、および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ。

(ⅱ)　$a$と$b$の最大公約数を$M$、$b$と$c$の最大公約数を$N$とする。$M$と$N$は等しいことを示せ。ただし、$a$、$b$、$c$、$p$は$0$でない任意の整数とする。

（２）自然数の列$\{a_n\}$を$$a_{n+2}=6⁢a_{n+1}+a_{n} \ (n=1,2,⋯)、a_1=3、a_2=4$$で定める。

(ⅰ)　$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ。

(ⅱ)　$a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ。

(ⅲ)　$a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ008を閉じる

$p=2+\sqrt{5}$ とおき、自然数 $n=1,2,3,\cdots$ に対して$$a_n=p^n+\left(-\dfrac{1}{p}\right)^n$$と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問（１）は結論のみを書けばよい。

（１）$a_1$、$a_2$の値を求めよ。

（２）$n \geqq 2$ とする。積$a_1 a_n$を、$a_{n+1}$と$a_{n-1}$を用いて表せ。

（３）$a_n$は自然数であることを示せ。

（４）$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ009を閉じる

問題#Ⅰ010　★★☆☆（大阪教育大学(後期) 2016年）

自然数$n$に対して、$a_n=3n^2+28n+30$、$b_n=3n+24$ とする。$a_n$と$b_n$の最大公約数を$D_n$とし、$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} D_k$ とする。

（１）$D_1$、$D_2$、$D_3$と$D_6$を求めよ。

（２）$S_{12}$と$S_{20}$を求めよ。

（３）$S_n$が$60$の倍数となる、$100$以下の自然数$n$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ010を閉じる

$a_1=1$、$a_2=1$、$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} \ (n=1,2,3,\cdots)$ で定められる数列$\{a_n\}$について、以下の問いに答えよ。

（１）$a_n$が$2$の倍数となるような自然数$n$の条件を求めよ。

（２）$a_n$が$3$の倍数となるような自然数$n$の条件を求めよ。

（３）$a_n$が$12$の倍数となるような自然数$n$の条件を求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ011を閉じる

$p$、$q$は正の整数とし、２次方程式 $x^2-px-q=0$ の２つの実数解を$\alpha$、$\beta$とする。$A_n={\alpha}^n+{\beta}^n$ とおくとき、すべての正の整数$n$について次のことが成り立つことを示せ。

（１）$A_n$は整数である。

（２）$A_{3n}-{A_n}^3$ は$3$で割り切れる。

解答例

» 問題#Ⅰ012を閉じる

整数を項とする数列$\{x_n\}$を、$x_1=2$、$x_2=8$ と関係

$x_{n+2}=2(x_{n+1}+x_n) $ $(n=1,2,3,\cdots)$

で定めるとき、次の問に答えよ。

（１）$x_n$を$3$で割ったときの余りを求めよ。

（２）$x_n$を$n$の式で表せ。

（３）$n$を正の整数とするとき、$(1+\sqrt{3})^n$を越えない最大の整数を$3$で割ったときの余りを求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ013を閉じる

自然数$n$に対して、$a_n$、$b_n$を$$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$$を満たす自然数とする。このとき、以下の問いに答えよ。

（１）$n \geqq 2$ のとき、$a_n$および$b_n$を$a_{n-1}$と$b_{n-1}$を用いて表せ。

（２）${a_{n}}^2-2{b_{n}}^2$ を求めよ。

（３）（２）を用いて、$\sqrt{2}$を誤差$\dfrac{1}{10000}$未満で近似する有理数を1つ求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ014を閉じる

自然数$n$に対し、$\dfrac{10^n-1}{9}=\overbrace{111 \cdots 111}^{n個}$ を $\boxed{\mathstrut \,n\,}$で表す。たとえば、$\boxed{\mathstrut \,1\,}=1$、$\boxed{\mathstrut \,2\,}=11$、$\boxed{\mathstrut \,3\,}=111$ である。

（１）$m$を$0$以上の整数とする。$\boxed{\mathstrut \,3^m\,}$は$3^m$で割り切れるが、$3^{m+1}$では割り切れないことを示せ。

（２）$n$が$27$で割り切れることが、$\boxed{\mathstrut \,n\,}$が$27$で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

解答例

» 問題#Ⅰ015を閉じる

$N$を$2$以上の自然数とする。

（１）関数 $f(x)=(N−x) \log x$ を $1 \leqq x \leqq N$ の範囲で考える。このとき、曲線 $y=f(x)$ は上に凸であり、関数$f⁡(x)$は極大値を$1$つだけとる。このことを示せ。

（２）自然数の列$a_1$、$a_2$、$\cdots$、$a_N$を$$a_n=n^{N−n} \ (n=1,2,\cdots,N)$$で定める。$a_1$、$a_2$、$\cdots$、$a_N$のうちで最大の値を$M$とし、$M=a_n$ となる$n$の個数を$k$とする。このとき $k \leqq 2$ であることを示せ。

（３）（２）で $k=2$ となるのは、$N$が$2$のときだけであることを示せ。

解答例

» 問題#Ⅰ016を閉じる

$r$を$0$以上の整数とし、数列$\{a_n\}$を次のように定める。

$a_1=r$、$a_2=r+1$、$a_{n+2}=a_{n+1}(a_{n}+1) \ (n=1,2,3,\cdots)$

また、素数$p$を$1$つとり、$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする。ただし、$0$を$p$で割った余りは$0$とする。

（１）自然数$n$に対し、$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_{n}+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ。

（２）$r=2$、$p=17$の場合に、$10$以下のすべての自然数$n$に対して、$b_n$を求めよ。

（３）ある$2$つの相異なる自然数$n$、$m$に対して、

$b_{n+1}=b_{m+1}>0$、$b_{n+2}=b_{m+2}$

が成り立ったとする。このとき、$b_n=b_m$ が成り立つことを示せ。

（４）$a_2$、$a_3$、$a_4$、$\cdots$ に$p$で割り切れる数が現れないとする。このとき、$a_1$も$p$で割り切れないことを示せ。

解答例

» 問題#Ⅰ017を閉じる

正の整数$n$に対して$$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$$とおき、$1$以上$n$以下のすべての奇数の積を$A_n$とする。

（１）$\log_2 ⁡n$以下の最大の整数を$N$とするとき、$2^N ⁢A_n ⁢S_n$は奇数の整数であることを示せ。

（２）$S_n=2+\dfrac{m}{20}$ となる正の整数の組$(n,m)$をすべて求めよ。

（３）整数$n$と $0 \leqq b < 1$ をみたす実数$b$を用いて、$$A_{20} S_{20}=a+b$$と表すとき、$b$の値を求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ018を閉じる

$n$を自然数とする。次の各問に答えよ。

（１）自然数$k$は $2 \leqq k \leqq n$ を満たすとする。$9^k$を$10$進法で表したときのけた数は、$9^{k-1}$のけた数と等しいか、または$1$だけ大きいことを示せ。

（２）$9^{k-1}$と$9^k$のけた数が等しいような $2 \leqq k \leqq n$ の範囲の自然数$k$の個数を$a_n$とする。$9^n$のけた数を$n$と$a_n$を用いて表せ。

（３）$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n}$ を求めよ。

解答例

» 問題#Ⅰ019を閉じる

$2$以上の整数$n$に対して方程式$$x_1+x_2+\cdots+x_n=x_1 x_2 \cdots x_n$$の整数解$(x_1,x_2,\cdots \cdots,x_n)$を考える。ただし、たとえば$(1,2,3)$と$(3,2,1)$は異なる解とみなす。このとき次の問に答えよ。

（１）$n=2$ および $n=3$ のときの解をすべて求めよ。

（２）解が１つしかないような$n$をすべて求めよ。

（３）任意の$n$に対して解は少なくとも１つ存在し、かつ有限個しかないことを示せ。

解答例

» 問題#Ⅰ020を閉じる