整数第3章第2節Ⅰ-1


Ⅰ 数列との融合問題


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問題一覧(#Ⅰ001~#Ⅰ020)

問題番号の横に星印で難しさの目安を示しておきましたが、あまり気にしないで解いてみて下さい。(が多い=難しい)

ここに並んでいるのは応用的な例題が多めです。解答が困難なら先に第1節の問題で下積みしておきましょう。

» 問題#Ⅰ001


問題#Ⅰ001 ★☆☆☆(筑波大 1976年)

a1=37an+1=(an)7 (n=1,2,3,) により定義される数列{an}の一般項anの下一桁の数字を求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ002


問題#Ⅰ002 ★☆☆☆(熊本大学 1989年)

自然数nに対して、7nの一の位をanで表すとき、次の問いに答えよ。

(1)a99を求めよ。

(2)n2+2nan の最大値およびそのときのnを求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ003


問題#Ⅰ003 ★★☆☆(東京大学 2016年)

以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。

(1)nを正の整数とし、3n10で割った余りをanとする。anを求めよ。

(2)nを正の整数とし、3n4で割った余りをbnとする。bnを求めよ。

(3)数列{xn}を次のように定める。

x1=1xn+1=3xn (n=1,2,3,)

x1010で割った余りを求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ004


問題#Ⅰ004 ★☆☆☆(神戸大学 2004年)

初項が1で公差が自然数dである等差数列の初項から第n項までの和をSnとする。n3 のとき、次の問に答えよ。

(1)Sn=94 となるndがちょうど一組ある。そのndを求めよ。

(2)Sn=98 となるndの組はない。その理由を述べよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ005


問題#Ⅰ005 ★★☆☆(九州大学 2016年)

自然数nに対して、10n13で割った余りをanとおく。an0から12までの整数である。以下の問いに答えよ。

(1)an+110an13で割った余りに等しいことを示せ。

(2)a1a2a6を求めよ。

(3)以下の3条件を満たす自然数Nをすべて求めよ。

(ⅰ)Nを十進法で表示したとき6桁となる。

(ⅱ)Nを十進法で表示して、最初と最後の桁の数字を取り除くと2016となる。

(ⅲ)N13で割り切れる。

解答例

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» 問題#Ⅰ006


問題#Ⅰ006 ★★☆☆(北海道大学 1993年)

整数 n0 に対し、b(n)=2nan=2b(n)+1 とする。

(1)数学的帰納法を用いて、a0a1an=2b(n+1)1 (n1)を示せ。

(2)an+1=a0a1an+2 (n1) を示し、l>m1 のとき、alam1より大きい公約数を持たないことを示せ。

解答例

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» 問題#Ⅰ007


問題#Ⅰ007 ★★☆☆(神戸大学 2008年)

1からnまでの自然数123nの和をSとするとき、次の問に答えよ。

(1)n4で割った余りが0または3ならば、Sが偶数であることを示せ。

(2)Sが偶数ならば、n4で割った余りが0または3であることを示せ。

(3)S4の倍数ならば、n8で割った余りが0または7であることを示せ。

解答例

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» 問題#Ⅰ008


問題#Ⅰ008 ★★☆☆(神戸大学 2016年)

約数、公約数、最大公約数を次のように定める。

2つの整数abに対して、a=bk をみたす整数kが存在するとき、baの約数であるという。

2つの整数に共通の約数をそれらの公約数という。

・少なくとも一方が0でない2つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という。

以下の問に答えよ。

(1)abcp0でない整数で a=pb+c をみたしているとする。

(ⅰ) a=18b=30c=42p=2 のとき、abの公約数の集合S、およびbcの公約数の集合Tを求めよ。

(ⅱ) abの最大公約数をMbcの最大公約数をNとする。MNは等しいことを示せ。ただし、abcp0でない任意の整数とする。

(2)自然数の列{an}an+2=6an+1+an (n=1,2,)a1=3a2=4で定める。

(ⅰ) an+1anの最大公約数を求めよ。

(ⅱ) an+4an+2anを用いて表せ。

(ⅲ) an+2anの最大公約数を求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ009


問題#Ⅰ009 ★★☆☆(東京大学 2017年)

p=2+5 とおき、自然数 n=1,2,3, に対してan=pn+(1p)nと定める。以下の問いに答えよ。ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。

(1)a1a2の値を求めよ。

(2)n2 とする。積a1anを、an+1an1を用いて表せ。

(3)anは自然数であることを示せ。

(4)an+1anの最大公約数を求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ010

問題#Ⅰ010 ★★☆☆(大阪教育大学(後期) 2016年)

自然数nに対して、an=3n2+28n+30bn=3n+24 とする。anbnの最大公約数をDnとし、Sn=k=1nDk とする。

(1)D1D2D3D6を求めよ。

(2)S12S20を求めよ。

(3)Sn60の倍数となる、100以下の自然数nをすべて求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ011


問題#Ⅰ011 ★★☆☆(有名問題)

a1=1a2=1an+2=an+1+an (n=1,2,3,) で定められる数列{an}について、以下の問いに答えよ。

(1)an2の倍数となるような自然数nの条件を求めよ。

(2)an3の倍数となるような自然数nの条件を求めよ。

(3)an12の倍数となるような自然数nの条件を求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ012


問題#Ⅰ012 ★★☆☆(大阪大学 1988年)

pqは正の整数とし、2次方程式 x2pxq=0 の2つの実数解をαβとする。An=αn+βn とおくとき、すべての正の整数nについて次のことが成り立つことを示せ。

(1)Anは整数である。

(2)A3nAn33で割り切れる。

解答例

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» 問題#Ⅰ013


問題#Ⅰ013 ★★☆☆(横浜国立大学 1988年)

整数を項とする数列{xn}を、x1=2x2=8 と関係

xn+2=2(xn+1+xn) (n=1,2,3,)

で定めるとき、次の問に答えよ。

(1)xn3で割ったときの余りを求めよ。

(2)xnnの式で表せ。

(3)nを正の整数とするとき、(1+3)nを越えない最大の整数を3で割ったときの余りを求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ014


問題#Ⅰ014 ★★☆☆名古屋大学(後期) 2004年)

自然数nに対して、anbn(3+22)n=an+bn2を満たす自然数とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)n2 のとき、anおよびbnan1bn1を用いて表せ。

(2)an22bn2 を求めよ。

(3)(2)を用いて、2を誤差110000未満で近似する有理数を1つ求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ015


問題#Ⅰ015 ★★☆☆(東京大学 2008年)

自然数nに対し、10n19=111111n(nで表す。たとえば、(1=1(2=11(3=111 である。

(1)m0以上の整数とする。(3m3mで割り切れるが、3m+1では割り切れないことを示せ。

(2)n27で割り切れることが、(n27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

解答例

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» 問題#Ⅰ016


問題#Ⅰ016 ★★★☆(大阪大学 2008年)

N2以上の自然数とする。

(1)関数 f(x)=(Nx)logx1xN の範囲で考える。このとき、曲線 y=f(x) は上に凸であり、関数f(x)は極大値を1つだけとる。このことを示せ。

(2)自然数の列a1a2aNan=nNn (n=1,2,,N)で定める。a1a2aNのうちで最大の値をMとし、M=an となるnの個数をkとする。このとき k2 であることを示せ。

(3)(2)で k=2 となるのは、N2のときだけであることを示せ。

解答例

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» 問題#Ⅰ017


問題#Ⅰ017 ★★★☆(東京大学 2014年)

r0以上の整数とし、数列{an}を次のように定める。

a1=ra2=r+1an+2=an+1(an+1) (n=1,2,3,)

また、素数p1つとり、anpで割った余りをbnとする。ただし、0pで割った余りは0とする。

(1)自然数nに対し、bn+2bn+1(bn+1)pで割った余りと一致することを示せ。

(2)r=2p=17の場合に、10以下のすべての自然数nに対して、bnを求めよ。

(3)ある2つの相異なる自然数nmに対して、

bn+1=bm+1>0bn+2=bm+2

が成り立ったとする。このとき、bn=bm が成り立つことを示せ。

(4)a2a3a4pで割り切れる数が現れないとする。このとき、a1pで割り切れないことを示せ。

解答例

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» 問題#Ⅰ018


問題#Ⅰ018 ★★★☆(大阪大学 2016年)

正の整数nに対してSn=k=1n1kとおき、1以上n以下のすべての奇数の積をAnとする。

(1)log2n以下の最大の整数をNとするとき、2NAnSnは奇数の整数であることを示せ。

(2)Sn=2+m20 となる正の整数の組(n,m)をすべて求めよ。

(3)整数n0b<1 をみたす実数bを用いて、A20S20=a+bと表すとき、bの値を求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ019


問題#Ⅰ019 ★★★☆(神戸大学(後期) 1998年)

nを自然数とする。次の各問に答えよ。

(1)自然数k2kn を満たすとする。9k10進法で表したときのけた数は、9k1のけた数と等しいか、または1だけ大きいことを示せ。

(2)9k19kのけた数が等しいような 2kn の範囲の自然数kの個数をanとする。9nのけた数をnanを用いて表せ。

(3)limnann を求めよ。

解答例

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» 問題#Ⅰ020


問題#Ⅰ020 ★★★★(東京工業大学 1996年)

2以上の整数nに対して方程式x1+x2++xn=x1x2xnの整数解(x1,x2,,xn)を考える。ただし、たとえば(1,2,3)(3,2,1)は異なる解とみなす。このとき次の問に答えよ。

(1)n=2 および n=3 のときの解をすべて求めよ。

(2)解が1つしかないようなnをすべて求めよ。

(3)任意のnに対して解は少なくとも1つ存在し、かつ有限個しかないことを示せ。

解答例

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