Ⅰ 数列との融合問題
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問題一覧(#Ⅰ001~#Ⅰ020)
問題番号の横に星印で難しさの目安を示しておきましたが、あまり気にしないで解いてみて下さい。(★が多い=難しい)
ここに並んでいるのは応用的な例題が多めです。解答が困難なら先に第1節の問題で下積みしておきましょう。
» 問題#Ⅰ001
問題#Ⅰ001 ★☆☆☆(筑波大 1976年)
、 により定義される数列の一般項の下一桁の数字を求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ002
問題#Ⅰ002 ★☆☆☆(熊本大学 1989年)
自然数に対して、の一の位をで表すとき、次の問いに答えよ。
(1)を求めよ。
(2) の最大値およびそのときのを求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ003
問題#Ⅰ003 ★★☆☆(東京大学 2016年)
以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。
(1)を正の整数とし、をで割った余りをとする。を求めよ。
(2)を正の整数とし、をで割った余りをとする。を求めよ。
(3)数列を次のように定める。
、
をで割った余りを求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ004
問題#Ⅰ004 ★☆☆☆(神戸大学 2004年)
初項がで公差が自然数である等差数列の初項から第項までの和をとする。 のとき、次の問に答えよ。
(1) となるとがちょうど一組ある。そのとを求めよ。
(2) となるとの組はない。その理由を述べよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ005
問題#Ⅰ005 ★★☆☆(九州大学 2016年)
自然数に対して、をで割った余りをとおく。はからまでの整数である。以下の問いに答えよ。
(1)はをで割った余りに等しいことを示せ。
(2)、、、を求めよ。
(3)以下の3条件を満たす自然数をすべて求めよ。
(ⅰ)を十進法で表示したとき桁となる。
(ⅱ)を十進法で表示して、最初と最後の桁の数字を取り除くととなる。
(ⅲ)はで割り切れる。
解答例
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» 問題#Ⅰ006
問題#Ⅰ006 ★★☆☆(北海道大学 1993年)
整数 に対し、、 とする。
(1)数学的帰納法を用いて、を示せ。
(2) を示し、 のとき、とはより大きい公約数を持たないことを示せ。
解答例
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» 問題#Ⅰ007
問題#Ⅰ007 ★★☆☆(神戸大学 2008年)
からまでの自然数、、、、の和をとするとき、次の問に答えよ。
(1)をで割った余りがまたはならば、が偶数であることを示せ。
(2)が偶数ならば、をで割った余りがまたはであることを示せ。
(3)がの倍数ならば、をで割った余りがまたはであることを示せ。
解答例
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» 問題#Ⅰ008
問題#Ⅰ008 ★★☆☆(神戸大学 2016年)
約数、公約数、最大公約数を次のように定める。
・つの整数、に対して、 をみたす整数が存在するとき、はの約数であるという。
・つの整数に共通の約数をそれらの公約数という。
・少なくとも一方がでないつの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という。
以下の問に答えよ。
(1)、、、はでない整数で をみたしているとする。
(ⅰ) 、、、 のとき、との公約数の集合、およびとの公約数の集合を求めよ。
(ⅱ) との最大公約数を、との最大公約数をとする。とは等しいことを示せ。ただし、、、、はでない任意の整数とする。
(2)自然数の列をで定める。
(ⅰ) との最大公約数を求めよ。
(ⅱ) をとを用いて表せ。
(ⅲ) との最大公約数を求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ009
問題#Ⅰ009 ★★☆☆(東京大学 2017年)
とおき、自然数 に対してと定める。以下の問いに答えよ。ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。
(1)、の値を求めよ。
(2) とする。積を、とを用いて表せ。
(3)は自然数であることを示せ。
(4)との最大公約数を求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ010
問題#Ⅰ010 ★★☆☆(大阪教育大学(後期) 2016年)
自然数に対して、、 とする。との最大公約数をとし、 とする。
(1)、、とを求めよ。
(2)とを求めよ。
(3)がの倍数となる、以下の自然数をすべて求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ011
問題#Ⅰ011 ★★☆☆(有名問題)
、、 で定められる数列について、以下の問いに答えよ。
(1)がの倍数となるような自然数の条件を求めよ。
(2)がの倍数となるような自然数の条件を求めよ。
(3)がの倍数となるような自然数の条件を求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ012
問題#Ⅰ012 ★★☆☆(大阪大学 1988年)
、は正の整数とし、2次方程式 の2つの実数解を、とする。 とおくとき、すべての正の整数について次のことが成り立つことを示せ。
(1)は整数である。
(2) はで割り切れる。
解答例
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» 問題#Ⅰ013
問題#Ⅰ013 ★★☆☆(横浜国立大学 1988年)
整数を項とする数列を、、 と関係
で定めるとき、次の問に答えよ。
(1)をで割ったときの余りを求めよ。
(2)をの式で表せ。
(3)を正の整数とするとき、を越えない最大の整数をで割ったときの余りを求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ014
問題#Ⅰ014 ★★☆☆(名古屋大学(後期) 2004年)
自然数に対して、、をを満たす自然数とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) のとき、およびをとを用いて表せ。
(2) を求めよ。
(3)(2)を用いて、を誤差未満で近似する有理数を1つ求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ015
問題#Ⅰ015 ★★☆☆(東京大学 2008年)
自然数に対し、 を で表す。たとえば、、、 である。
(1)を以上の整数とする。はで割り切れるが、では割り切れないことを示せ。
(2)がで割り切れることが、がで割り切れるための必要十分条件であることを示せ。
解答例
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» 問題#Ⅰ016
問題#Ⅰ016 ★★★☆(大阪大学 2008年)
を以上の自然数とする。
(1)関数 を の範囲で考える。このとき、曲線 は上に凸であり、関数は極大値をつだけとる。このことを示せ。
(2)自然数の列、、、をで定める。、、、のうちで最大の値をとし、 となるの個数をとする。このとき であることを示せ。
(3)(2)で となるのは、がのときだけであることを示せ。
解答例
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» 問題#Ⅰ017
問題#Ⅰ017 ★★★☆(東京大学 2014年)
を以上の整数とし、数列を次のように定める。
、、
また、素数をつとり、をで割った余りをとする。ただし、をで割った余りはとする。
(1)自然数に対し、はをで割った余りと一致することを示せ。
(2)、の場合に、以下のすべての自然数に対して、を求めよ。
(3)あるつの相異なる自然数、に対して、
、
が成り立ったとする。このとき、 が成り立つことを示せ。
(4)、、、 にで割り切れる数が現れないとする。このとき、もで割り切れないことを示せ。
解答例
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» 問題#Ⅰ018
問題#Ⅰ018 ★★★☆(大阪大学 2016年)
正の整数に対してとおき、以上以下のすべての奇数の積をとする。
(1)以下の最大の整数をとするとき、は奇数の整数であることを示せ。
(2) となる正の整数の組をすべて求めよ。
(3)整数と をみたす実数を用いて、と表すとき、の値を求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ019
問題#Ⅰ019 ★★★☆(神戸大学(後期) 1998年)
を自然数とする。次の各問に答えよ。
(1)自然数は を満たすとする。を進法で表したときのけた数は、のけた数と等しいか、またはだけ大きいことを示せ。
(2)とのけた数が等しいような の範囲の自然数の個数をとする。のけた数をとを用いて表せ。
(3) を求めよ。
解答例
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» 問題#Ⅰ020
問題#Ⅰ020 ★★★★(東京工業大学 1996年)
以上の整数に対して方程式の整数解を考える。ただし、たとえばとは異なる解とみなす。このとき次の問に答えよ。
(1) および のときの解をすべて求めよ。
(2)解が1つしかないようなをすべて求めよ。
(3)任意のに対して解は少なくとも1つ存在し、かつ有限個しかないことを示せ。
解答例
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