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問題6.2.4

次の関数の与えられた点における整級数展開を求めよ。

（１）${\displaystyle \frac{x+1}{x^2+3x}}$（$x=1$）

（２）$\cos x$（$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$）

《ポイント》

$x=a$ における整級数展開を求める際は $t=x-a$ などと置き換えて展開します。

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《解答例》

（１）${\displaystyle \frac{x+1}{x^2+3x}}$（$x=1$）

$x-1=t$ とおくと$$\begin{array}{rl}& \frac{x+1}{x^2+3x}\\ & =\frac{2}{3(t+4)}+\frac{1}{3(t+1)}\\ & =\frac{1}{6}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{-t}{4}\right)}^n+\frac{1}{3}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-t{)}^n\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{6}(2+\frac{1}{4^n})t^n\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{6}(2+\frac{1}{4^n})(x-1{)}^n\cdots (\text{答})\end{array}$$

（２）$\cos x$（$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$）

$x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=t$ とおくと$$\begin{array}{rl}& \cos x\\ & =\cos (x+\frac{\pi }{3})\\ & =\frac{\cos t-\sqrt{3}\sin t}{2}\\ & =\frac{1}{2}(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{t}^{2n}-\sqrt{3}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{t}^{2n+1})\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2(2n)!}{(x-\frac{\pi }{3})}^{2n}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}\sqrt{3}}{2(2n+1)!}{(x-\frac{\pi }{3})}^{2n+1}\cdots (\text{答})\end{array}$$

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復習例題は設定していません。

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