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問題7.1.4a

次の微分方程式を解け（1階線形）。

（１）$y^{\prime }-y=e^{2x}$

（２）$y^{\prime }-{\displaystyle \frac{2}{x}}y=x+2$

（３）$y^{\prime }+2xy=x$

（４）$x{y}^{\prime }-y=x$

《ポイント》

次の形の方程式を1階の線形微分方程式と言います。$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +p_1(x)y^{\prime }+p_0(x)y=q(x)$$特に $q(x)=0$ のときを斉次形、$q(x)\ne 0$ のときを非斉次形と言います。

斉次部分 $y^{\prime }=y$ は変数分離形なので ${\displaystyle \frac{dy}{y}}=dx$ と変形できます。この両辺を積分すると$$\log |y|=x+c_1$$となるので、$C_1$を任意の実数とすると斉次形の微分方程式 $y^{\prime }-y=0$ の一般解は$$y=C_1{e}^x$$で与えられます。

また、$$y^{\prime}+p(x) y=q(x) \quad \cdots (*)$$という形の線形微分方程式の解は$$y=\exp (-\int p(x)dx)\{\int q(x)\exp (\int p(x)dx)dx+c\}$$で与えられます。

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《解答例》

（１）$y^{\prime }-y=e^{2x}$

$(*)$\mathrm{に}\mathrm{お}\mathrm{い}\mathrm{て}$p(x)=-1$、$q(x)=e^{2x}$\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}、\mathrm{解}\mathrm{は}$$y=e^x(\int e^{2x}\cdot e^{-x}dx+c)$$$$\therefore y=e^x(e^x+c)$$$$\therefore y=e^{2x}+c{e}^x\cdots (\text{答})$$\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}。\mathrm{た}\mathrm{だ}\mathrm{し}、$c$は任意の実数である。

 

（２）$y^{\prime }-{\displaystyle \frac{2}{x}}y=x+2$

$$\begin{array}{rl}\int {\displaystyle \frac{2}{x}}dx& =2\log |x|+c\\ & =\log x^2+c\end{array}$$であるから、$(\ast )$において $p(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x}}$、$q(x)=x+2$ とすると、$$\begin{array}{rl}y& =e^{\log x^2}(\int (x+2)e^{-\log x^2}dx+c)\\ & =x^2(\int (\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})dx+c)\\ & =x^2(\log |x|-\frac{2}{x}+c)\\ & =x^2\log |x|-2x+c{x}^2\cdots (\text{答})\end{array}$$となる。ただし、$c$は任意の実数である。

 

（３）$y^{\prime }+2xy=x$

$$\int 2xdx=x^2$$であるから、$(\ast )$において $p(x)=2x$、$q(x)=x$ とすると、$$\begin{array}{rl}y& =e^{-x^2}(\int x{e}^{x^2}dx+c)\\ & =e^{-x^2}(\frac{1}{2}{e}^{x^2}+c)\\ & =\frac{1}{2}+c{e}^{-x^2}\cdots (\text{答})\end{array}$$となる。ただし、$c$は任意の実数である。

 

（４）$x{y}^{\prime }-y=x$

与式は$$y^{\prime }-\frac{1}{x}y=1$$と1階線形微分方程式に変形できるから、$(\ast )$において $p(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$、$q(x)=1$ とすると、$$\int p(x)dx=\int -\frac{1}{x}dx=-\log |x|$$より、$$\begin{array}{rl}y& =e^{\log |x|}(\int e^{-\log |x|}dx+c)\\ & =|x|(\int \frac{1}{|x|}dx+c)\\ & =x(\int \frac{1}{x}dx+c)\\ & =x(\log |x|+c)\\ & =x\log |x|+cx\cdots (\text{答})\end{array}$$となる。ただし、$c$は任意の実数である。

 

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復習例題は設定していません。

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