問題7.2.3a
次の線形微分方程式の一般解を求めよ。
（１）$D(D+3)y=e^{3x}+x$
（２）$(D-1)(D-2)(D+3)y=e^x$
《ポイント》
線形微分方程式$$F(D)y=q(x)$$の一般解は、斉次微分方程式$$F(D)y=0$$の一般解と$$F(D)y=q(x)$$の特殊解の和で与えられます。
《解答例》
（１）$D(D+3)y=e^{3x}+x$
$$D(D+3)y=0$$の一般解は$$y=c_{1}+c_{2} e^{-3 x}$$である。次に特殊解を求める。$$\frac{1}{D(D+3)} e^{3 x} =\frac{1}{18} e^{3 x}$$および$$\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ \frac{1}{D(D+3)} x \\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{D}-\frac{1}{D+3}\right) x \\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{3}\left(1-\frac{D}{3}\right) x\right) \\
&=\frac{1}{6} x^{2}-\frac{1}{9} x-\frac{1}{27}
\end{aligned}$$より、$D(D+3)y=e^{3x}+x$ の一般解は$$y=\frac{1}{18}\left(e^{3 x}+3 x^{2}-2 x\right)+c_{1}+c_{2} e^{-3 x}\quad \cdots (\text{答})$$となる。ただし、$c_{1}$、$c_{2}$ $\in \mathbb{R}$ である。
※ $-\dfrac{1}{27}$ は$c_{1}$の中に入っています。
（２）$(D-1)(D-2)(D+3)y=e^x$
$$(D-1)(D-2)(D+3)y=0$$の一般解は$$y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{2 x}+c_{3} e^{-3 x}$$である。次に特殊解を求めると、$$\begin{aligned}
&\ \ \ \ \ \frac{1}{(D-1)(D-2)(D+3)} e^{x} \\ &=-\frac{1}{4} \frac{1}{D-1} e^{x} \\
&=-\frac{1}{4} e^{x} \int d x \\
&=-\frac{1}{4} x e^{x}
\end{aligned}$$となるから、$(D-1)(D-2)(D+3)y=e^{x}$ の一般解は$$y=-\frac{1}{4} x e^{x}+c_{1} e^{x}+c_{2} e^{2 x}+c_{3} e^{-3 x}\quad \cdots (\text{答})$$となる。ただし、$c_{1}$、$c_{2}$、$c_{3}$ $\in \mathbb{R}$ である。
復習例題は設定していません。