問題1.1.6
正方行列 $A$ が ${}^t\!A=-A$ を満たすとき、$A$ を交代行列という。ただし $A=[a_{ij}]$ に対して $-A=[-a_{ij}]$ とする。交代行列の対角成分は全て $0$ であることを示せ。
ポイント
交代行列の必要十分条件から導きます。
解答例
${}^t\!A$ の $(i,j)$ 成分は $a_{ji}$ であるから $A$ が交代行列である必要十分条件は$$a_{ji}=-a_{ij}$$である。よって、$i=j$ とおくと $$a_{ii}=-a_{ii}$$ $$\therefore 2 a_{ii}=0$$ となるから $a_{ii}=0$ が導かれる。